题目内容
10.已知数列{an}满足an=2an-1+2n-1(n∈N,N≥2),且a4=81(1)求数列的前三项a1、a2、a3的值;
(2)是否存在一个实数λ,使得数列{$\frac{{a}_{n}+λ}{{2}^{n}}$} 为等差数列?若存在,求出λ值;若不存在,说明理由;求数列{an} 通项公式;
(3)在(2)条件下,试求数列{an}的前n项和Sn.
分析 (1)由an=2an-1+2n-1(n∈N,N≥2),且a4=81,分别令n=4,3,2即可得出.
(2)假设存在一个实数λ,使得数列{$\frac{{a}_{n}+λ}{{2}^{n}}$} 为等差数列,可得$\frac{{a}_{1}+λ}{2}$=$\frac{5+λ}{2}$,$\frac{{a}_{2}+λ}{4}$=$\frac{13+λ}{4}$,$\frac{{a}_{3}+λ}{{2}^{3}}$=$\frac{33+λ}{8}$,利用2×$\frac{{a}_{2}+λ}{4}$=$\frac{{a}_{3}+λ}{{2}^{3}}$+$\frac{{a}_{1}+λ}{2}$,解得λ=-1.可得$\frac{{a}_{n}+λ}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$=2+(n-1)=n+1,代入an=2an-1+2n-1(n∈N,N≥2),验证即可.
(3)由(2)可得:an=(n+1)•2n+1,利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出.
解答 解:(1)∵an=2an-1+2n-1(n∈N,N≥2),且a4=81,
∴${a}_{4}=2{a}_{3}+{2}^{4}$-1=81,解得a3=33,同理可得:a2=13,a1=5.
(2)假设存在一个实数λ,使得数列{$\frac{{a}_{n}+λ}{{2}^{n}}$} 为等差数列,
则$\frac{{a}_{1}+λ}{2}$=$\frac{5+λ}{2}$,$\frac{{a}_{2}+λ}{4}$=$\frac{13+λ}{4}$,$\frac{{a}_{3}+λ}{{2}^{3}}$=$\frac{33+λ}{8}$,
2×$\frac{{a}_{2}+λ}{4}$=$\frac{{a}_{3}+λ}{{2}^{3}}$+$\frac{{a}_{1}+λ}{2}$,
即2×$\frac{13+λ}{4}$=$\frac{5+λ}{2}$+$\frac{33+λ}{8}$,
解得λ=-1.
∴$\frac{{a}_{1}+λ}{2}$=$\frac{5+λ}{2}$=2,$\frac{{a}_{2}+λ}{4}$=$\frac{13+λ}{4}$=3,$\frac{{a}_{3}+λ}{{2}^{3}}$=$\frac{33+λ}{8}$=4,
则$\frac{{a}_{n}+λ}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$=2+(n-1)=n+1,
可得an=(n+1)•2n+1,
代入an=2an-1+2n-1(n∈N,N≥2),
可得右边=2n•2n-1+1+2n-1=(n+1)•2n+1=左边,
因此假设成立.
∴an=(n+1)•2n+1,
(3)由(2)可得:an=(n+1)•2n+1,
设数列{(n+1)•2n}的前n项和为Tn,
则Tn=2×2+3×22+4×23+…+(n+1)•2n,
∴2Tn=2×23+3×24+…+n•2n+(n+1)•2n+1,
∴-Tn=4+22+23+…+2n-+(n+1)•2n+1=2+$\frac{2({2}^{n}-1)}{2-1}$-(n+1)•2n+1=-n•2n+1,
∴Tn=n•2n+1.
∴数列{an}的前n项和Sn=n•2n+1+n.
点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系的应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
A. | -5 | B. | -1 | C. | 3 | D. | 4 |
t | 1.99 | 3.0 | 4.0 | 5.1 | 6.12 |
y | 1.50 | 4.04 | 7.50 | 12.00 | 18.01 |
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是④(填序号).
A. | $\frac{1}{4}$ | B. | $4\sqrt{2}$ | C. | $\frac{{\sqrt{2}}}{4}$ | D. | 64 |