Question

6．设f（x）=（a-a²）4^x+2^x+1，当x∈（-∞，1]时，f（x）的图象在x轴的上方，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 x∈（-∞，1]时，函数f（x）=1+2^x+（a-a²）4^X的图象在x轴的上方，可转化成f（x）=1+2^x+（a-a²）4^X＞0在（-∞，1]上恒成立，然后将a分离出来，在利用二次函数在给定区间上求出不等式另一侧的最值，从而求出a的取值范围．

解答 解：∵x∈（-∞，1]时，函数f（x）=1+2^x+（a-a²）4^X的图象在x轴的上方，
∴f（x）=1+2^x+（a-a²）4^X＞0在（-∞，1]上恒成立，
∴a-a²＜$[（\frac{1}{2}）^{x}]^{2}$+$（\frac{1}{2}）^{x}$在（-∞，1]上恒成立，
设$（\frac{1}{2}）^{x}$=t，
∵x∈（-∞，1]，
∴t∈[$\frac{1}{2}$，+∞），
∴a-a²＜t²+t=（t+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$≤$\frac{3}{4}$，
∴a²-a＜$\frac{3}{4}$，解得-$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{3}{2}$，
∴实数a的取值范围是（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题主要考查了二次函数在闭区间上的最值，以及函数恒成立问题，常常利用参变量分离的方法，同时考查了转化的思想，属于中档题．