题目内容
已知椭圆
：
（
），其焦距为
，若
（
），则称椭圆为“黄金椭圆”．
（1）求证：在黄金椭圆：（）中，
、
、
成等比数列．
（2）黄金椭圆：（）的右焦点为
，
为椭圆上的
任意一点．是否存在过点
、的直线
，使与
轴的交点
满足
？若存在，求直线的斜率
；若不存在，请说明理由．
（3）在黄金椭圆中有真命题：已知黄金椭圆：（）的左、右焦点分别是
、，以
、
、
、
为顶点的菱形
的内切圆过焦点
、．试写出“黄金双曲线”的定义；对于上述命题，在黄金双曲线中写出相关的真命题，并加以证明．
【答案】
（1）证明：由
及
，得
，故
、
、
成等比数列．（3分）
（2）解：由题设，显然直线
垂直于
轴时不合题意，设直线的方程为
，
得
，又
，及
，得点
的坐标为
，（5分）
因为点在椭圆上，所以
，又
，得
，
，故存在满足题意的直线，其斜率
．（6分）
（3）黄金双曲线的定义：已知双曲线
：
，其焦距为
，若
（或写成
），则称双曲线为“黄金双曲线”．（8分）
在黄金双曲线中有真命题：已知黄金双曲线：的左、右焦点分别是
、，以、、
、
为顶点的菱形
的内切圆过顶点
、
．（10分）
证明：直线
的方程为
，原点到该直线的距离为
，
将代入，得
，又将
代入，化简得
，
故直线与圆
相切，同理可证直线
、
、
均与圆相切，即以、为直径的圆为菱形的内切圆，命题得证．（13分）
【解析】略
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且焦距为6，则椭圆C的长轴长等于
的焦点在
轴，焦距为
，
是椭圆的焦点，
为椭圆上一点，且
．
与椭圆
且焦距为6，则椭圆C的长轴长等于（ ）
：
（
），其焦距为
，若
（
），则称椭圆
、
、
成等比数列．
，
为椭圆
、
，使
轴的交点
满足
？若存在，求直线
；若不存在，请说明理由．
、
、
、
、
为顶点的菱形
的内切圆过焦点
、