题目内容
(2009•卢湾区一模)在等差数列{an}中,公差为d,前n项和为Sn.在等比数列{bn}中,公比为q,前n项和为S'n(n∈N*).
(1)在等差数列{an}中,已知S10=30,S20=100,求S30.
(2)在等差数列{an}中,根据要求完成下列表格,并对①、②式加以证明(其中m、m1、m2、n∈N*).
(3)在下列各题中,任选一题进行解答,不必证明,解答正确得到相应的分数(若选做二题或更多题,则只批阅其中分值最高的一题,其余各题的解答,不管正确与否,一律视为无效,不予批阅):
(ⅰ) 类比(2)中①式,在等比数列{bn}中,写出相应的结论.
(ⅱ) (解答本题,最多得5分)类比(2)中②式,在等比数列{bn}中,写出相应的结论.
(ⅲ) (解答本题,最多得6分)在等差数列{an}中,将(2)中的①推广到一般情况.
(ⅳ) (解答本题,最多得6分)在等比数列{bn}中,将(2)中的①推广到一般情况.
(1)在等差数列{an}中,已知S10=30,S20=100,求S30.
(2)在等差数列{an}中,根据要求完成下列表格,并对①、②式加以证明(其中m、m1、m2、n∈N*).
用Sm表示S2m | S2m=2Sm+m2d | ||||
用Sm1、Sm2表示Sm1+m2 | Sm1+m2= Sm1+Sm2+m1m2d Sm1+Sm2+m1m2d ① | ||||
用Sm表示Snm | Snm= nSm+
nSm+ ②
|
(ⅰ) 类比(2)中①式,在等比数列{bn}中,写出相应的结论.
(ⅱ) (解答本题,最多得5分)类比(2)中②式,在等比数列{bn}中,写出相应的结论.
(ⅲ) (解答本题,最多得6分)在等差数列{an}中,将(2)中的①推广到一般情况.
(ⅳ) (解答本题,最多得6分)在等比数列{bn}中,将(2)中的①推广到一般情况.
分析:(1)由S10=30,S20=100,得10a1+45d=30,20a1+190d=100,解得a1=
,d=
,由此能求出S30.
(2)①Sm1+m2=Sm1+Sm2+m1m2d.证明:由am1+m2=am2+m1d,知Sm1+m2=Sm1+am1+1+am1+2+…+am1+m2=Sm1+(a1+m1d)+(a2+m1d)+…+(am2+m1d),由此得证.
②Snm=nSm+
m2d(或写成Snm=nSm+Cn2m2d,n≥2).证明:Sm=ma1+
d,Snm=nma1+
d=nSm-
d+
d,由此得证.
(3)(ⅰ)S′m1+m2=S′m1+qm1S′m2.
(ⅱ)S′nm=
.
(ⅲ) Sm1+m2+…+mn=Sm1+Sm2+…+Smn+[(m1m2+m1m3+…+m1mn)+(m2m3+…+m2mn)+…+mn-1mn]d,(n≥2).(或写成S
mi=
Smi+(
mimj)d,(n≥2)).
(ⅳ)S′m1+m2+…+mn=S′m1+S′m2qm1+S′m3qm1+m2+…+S′mnqm1+m2+…+mn-1,(n≥2).
6 |
5 |
2 |
5 |
(2)①Sm1+m2=Sm1+Sm2+m1m2d.证明:由am1+m2=am2+m1d,知Sm1+m2=Sm1+am1+1+am1+2+…+am1+m2=Sm1+(a1+m1d)+(a2+m1d)+…+(am2+m1d),由此得证.
②Snm=nSm+
n(n-1) |
2 |
m(m-1) |
2 |
nm(nm-1) |
2 |
nm(m-1) |
2 |
nm(nm-1) |
2 |
(3)(ⅰ)S′m1+m2=S′m1+qm1S′m2.
(ⅱ)S′nm=
|
(ⅲ) Sm1+m2+…+mn=Sm1+Sm2+…+Smn+[(m1m2+m1m3+…+m1mn)+(m2m3+…+m2mn)+…+mn-1mn]d,(n≥2).(或写成S
n |
i=1 |
n |
i=1 |
1≤i<j≤n |
(ⅳ)S′m1+m2+…+mn=S′m1+S′m2qm1+S′m3qm1+m2+…+S′mnqm1+m2+…+mn-1,(n≥2).
解答:解:(1)由S10=30,S20=100,得10a1+45d=30,20a1+190d=100,
解得a1=
,d=
,…(2分)
故S30=210. …(4分)
(2)①Sm1+m2=Sm1+Sm2+m1m2d. …(6分)
证明:∵am1+m2=am2+m1d,
∴Sm1+m2=Sm1+am1+1+am1+2+…+am1+m2
=Sm1+(a1+m1d)+(a2+m1d)+…+(am2+m1d)
=Sm1+Sm2+m1m2d. …(8分)
②Snm=nSm+
m2d(或写成Snm=nSm+Cn2m2d,n≥2). …(10分)
证明:∵Sm=ma1+
d,
∴Snm=nma1+
d=nSm-
d+
d
=nSm+
d(nm-1-m+1)=nSm+
d(nm-m)
=nSm+
m2d. …(12分)
(3)(ⅰ)S′m1+m2=S′m1+qm1S′m2. …(16分)
(ⅱ)S′nm=
…(17分)
(ⅲ) Sm1+m2+…+mn=Sm1+Sm2+…+Smn+[(m1m2+m1m3+…+m1mn)+(m2m3+…+m2mn)+…+mn-1mn]d,(n≥2).(或写成S
mi=
Smi+(
mimj)d,(n≥2)). …(18分)
(ⅳ)S′m1+m2+…+mn=S′m1+S′m2qm1+S′m3qm1+m2+…+S′mnqm1+m2+…+mn-1,(n≥2). …(18分)
解得a1=
6 |
5 |
2 |
5 |
故S30=210. …(4分)
(2)①Sm1+m2=Sm1+Sm2+m1m2d. …(6分)
证明:∵am1+m2=am2+m1d,
∴Sm1+m2=Sm1+am1+1+am1+2+…+am1+m2
=Sm1+(a1+m1d)+(a2+m1d)+…+(am2+m1d)
=Sm1+Sm2+m1m2d. …(8分)
②Snm=nSm+
n(n-1) |
2 |
证明:∵Sm=ma1+
m(m-1) |
2 |
∴Snm=nma1+
nm(nm-1) |
2 |
nm(m-1) |
2 |
nm(nm-1) |
2 |
=nSm+
nm |
2 |
nm |
2 |
=nSm+
n(n-1) |
2 |
(3)(ⅰ)S′m1+m2=S′m1+qm1S′m2. …(16分)
(ⅱ)S′nm=
|
(ⅲ) Sm1+m2+…+mn=Sm1+Sm2+…+Smn+[(m1m2+m1m3+…+m1mn)+(m2m3+…+m2mn)+…+mn-1mn]d,(n≥2).(或写成S
n |
i=1 |
n |
i=1 |
1≤i<j≤n |
(ⅳ)S′m1+m2+…+mn=S′m1+S′m2qm1+S′m3qm1+m2+…+S′mnqm1+m2+…+mn-1,(n≥2). …(18分)
点评:本题考查等差数列和等比数列的综合应用,解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化.
练习册系列答案
相关题目