题目内容
(本小题满分12分)
如图,已知两个正方行ABCD 和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点 。
(I)若平面ABCD ⊥平面DCEF,求直线MN与平面DCEF所成角的正值弦;
(II)用反证法证明:直线ME 与 BN 是两条异面直线。
解析:(I)解法一:
取CD的中点G,连接MG,NG。
设正方形ABCD,DCEF的边长为2,
则MG⊥CD,MG=2,NG=.
因为平面ABCD⊥平面DCED,
所以MG⊥平面DCEF,
可得∠MNG是MN与平面DCEF所成的角。因为MN=,所以sin∠MNG=为MN与平面DCEF所成角的正弦值 ……6分
解法二:
设正方形ABCD,DCEF的边长为2,以D为坐标原点,分别以射线DC,DF,DA为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系如图.
则M(1,0,2),N(0,1,0),可得=(-1,1,2).
又=(0,0,2)为平面DCEF的法向量,
可得cos(,)=?
所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为
cos? ……6分
(Ⅱ)假设直线ME与BN共面, ……8分
则AB平面MBEN,且平面MBEN与平面DCEF交于EN
由已知,两正方形不共面,故AB平面DCEF。
又AB//CD,所以AB//平面DCEF。面EN为平面MBEN与平面DCEF的交线,
所以AB//EN。
又AB//CD//EF,
所以EN//EF,这与EN∩EF=E矛盾,故假设不成立。
所以ME与BN不共面,它们是异面直线. ……12分