题目内容

(本小题满分12分)

如图,已知两个正方行ABCD 和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点  。

(I)若平面ABCD ⊥平面DCEF,求直线MN与平面DCEF所成角的正值弦;

(II)用反证法证明:直线ME 与 BN 是两条异面直线。        

解析:(I)解法一:

取CD的中点G,连接MG,NG。

设正方形ABCD,DCEF的边长为2,                

则MG⊥CD,MG=2,NG=.

因为平面ABCD⊥平面DCED,

所以MG⊥平面DCEF,

可得∠MNG是MN与平面DCEF所成的角。因为MN=,所以sin∠MNG=为MN与平面DCEF所成角的正弦值                                          ……6分

解法二:

  设正方形ABCD,DCEF的边长为2,以D为坐标原点,分别以射线DC,DF,DA为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系如图.

则M(1,0,2),N(0,1,0),可得=(-1,1,2).                      

=(0,0,2)为平面DCEF的法向量,

可得cos(,)=?                

所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为

cos?                                         ……6分

(Ⅱ)假设直线ME与BN共面,                                       ……8分

则AB平面MBEN,且平面MBEN与平面DCEF交于EN

由已知,两正方形不共面,故AB平面DCEF。

又AB//CD,所以AB//平面DCEF。面EN为平面MBEN与平面DCEF的交线,

所以AB//EN。

又AB//CD//EF,

所以EN//EF,这与EN∩EF=E矛盾,故假设不成立。

所以ME与BN不共面,它们是异面直线.                                  ……12分

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