题目内容
经过椭圆
+
=1（a＞b＞0）的右焦点F的直线L与椭圆交于A、B两点，M是线段AB的中点，直线AB与直线OM（O是坐标原点）的斜率分别为k、m，且km=-
．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）已知k=
，连接OM并延长交椭圆于点C，若四边形OACB恰好是平行四边形，求椭圆的方程．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 1 |
| a2 |
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）已知k=
| ||
| 4 |
分析：（Ⅰ）设出直线AB的方程代入椭圆方程，利用韦达定理、中点坐标公式，可求m、km，利用km=-
，即可求b的值；
（Ⅱ）根据OACB是平行四边形，可得
=
+
，从而可求C的坐标，利用C在椭圆上，即可求得椭圆的方程．
| 1 |
| a2 |
（Ⅱ）根据OACB是平行四边形，可得
| OC |
| OA |
| OB |
解答：解：（Ⅰ）设直线AB的方程为y=k（x-c），代入椭圆方程，消元可得
（a2k2+b2）x2-2a2k2cx+a2k2c2-a2b2=0，…（2分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则x0=
，m=
，…（4分）
∴x0=
，y0=k（x0-c）=-
∴m=
=-
，∴km=-
；
又∵km=-
，∴b=1； …（6分）
（Ⅱ）∵OACB是平行四边形，则
=
+
，…（8分）
∴xc=x1+x2=2x0=
=
，yc=y1+y2=2y0=-
，
∵C在椭圆上，∴
+
=1，…（10分）
整理得4c2=a2+8，
∵c2=a2-1，∴a2=4，
∴椭圆的方程是
+y2=1． …（12分）
（a2k2+b2）x2-2a2k2cx+a2k2c2-a2b2=0，…（2分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则x0=
| x1+x2 |
| 2 |
| y0 |
| x0 |
∴x0=
| a2k2c |
| a2k2+b2 |
| kb2c |
| a2k2+b2 |
∴m=
| y0 |
| x0 |
| b |
| a2k |
| b2 |
| a2 |
又∵km=-
| 1 |
| a2 |
（Ⅱ）∵OACB是平行四边形，则
| OC |
| OA |
| OB |
∴xc=x1+x2=2x0=
| 2a2k2c |
| a2k2+b2 |
| 2a2c |
| a2+8 |
4
| ||
| a2+8 |
∵C在椭圆上，∴
(
| ||
| a2 |
(-
| ||||
| b2 |
整理得4c2=a2+8，
∵c2=a2-1，∴a2=4，
∴椭圆的方程是
| x2 |
| 4 |
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，直线与椭圆联立，利用韦达定理解题是关键．
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