题目内容

设曲线C：f（x）=lnx-ex（e=2.71828…），f′（x）表示f（x）导函数．
（I）求函数f（x）的极值；
（II）数列{a_n}满足a₁=e， $数学公式$ ．求证：数列{a_n}中不存在成等差数列的三项；
（III）对于曲线C上的不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁＜x₂，求证：存在唯一的x₀∈（x₁，x₂），使直线AB的斜率等于f′（x₀）．

解：（I） $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$
当x变化时，f′（x）与f（x）变化情况如下表：

x	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
f′（x）	+	0	-
f（x）	单调递增	极大值	单调递减

∴当 $\text{[math]}$ 时，f（x）取得极大值 $\text{[math]}$ ，没有极小值； …（4分）
（II）∵ $\text{[math]}$ ，∴a_n+1=2a_n+e $\text{[math]}$ ，∴a_n=e（2ⁿ-1）…（6分）
假设数列{a_n}中存在成等差数列的三项a_r，a_s，a_t（r＜s＜t），
则2a_s=a_r+a_t，2e（2^s-1）=e（2^r-1）+e（2^t-1），2^s+1=2^r+2^t，∴2^s-r+1=1+2^t-r又s-r+1＞0，t-r＞0，
∴2^s-r+1为偶数，1+2^t-r为奇数，假设不成立
因此，数列{a_n}中不存在成等差数列的三项 …（8分）
（III）∵f′（x₀）=k_AB，∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
即 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，g（x₁）是x₁的增函数，
∵x₁＜x₂，∴ $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，g（x₂）是x₂的增函数，
∵x₁＜x₂，∴ $\text{[math]}$ ，
∴函数 $\text{[math]}$ 在（x₁，x₂）内有零点x₀，…（10分）
又∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 在（x₁，x₂）是增函数，
∴函数 $\text{[math]}$ 在（x₁，x₂）内有唯一零点x₀，命题成立…（12分）
分析：（I）先对函数进行求导，讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值点，求出极值即可．
（II）根据递推关系求出数列通项an，假设数列{an}中存在成等差数列的三项a_r，a_s，a_t，寻求矛盾即可．
（III）假设存在，再进行论证
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及等差数列的性质，属于中档题．