Question

设曲线C：f（x）=lnx-ex（e=2.71828…），f′（x）表示f（x）导函数．
（I）求函数f（x）的极值；
（II）数列{a_n}满足a₁=e，an+1=2f′(

1

an

)+3e．求证：数列{a_n}中不存在成等差数列的三项．

Answer 1

分析：（1）先对函数进行求导，讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值点，求出极值即可．
（2）根据递推关系求出数列通项a_n，假设数列{a_n}中存在成等差数列的三项a_r，a_s，a_t，寻求矛盾即可．

解答：解：（I）f′(x)=

1

x

-e=

1-ex

x

=0，得x=

1

e

当x变化时，f′（x）与f（x）变化情况如下表：

∴当x=

1

e

时，f（x）取得极大值f(

1

e

)=-2，没有极小值；

（II）∵an+1=2f′(

1

an

)+3e，
∴a_n+1=2a_n+e

an+1+e

an+e

=2，
∴a_n=e（2ⁿ-1）
假设数列{a_n}中存在成等差数列的三项a_r，a_s，a_t（r＜s＜t），
则2a_s=a_r+a_t，2e（2^s-1）=e（2^r-1）+e（2^t-1），2^s+1=2^r+2^t，
∴2^s-r+1=1+2^t-r又s-r+1＞0，t-r＞0，
∴2^s-r+1为偶数，1+2^t-r为奇数，假设不成立
因此，数列{a_n}中不存在成等差数列的三项．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及等差数列的性质，属于中档题．