题目内容
【题目】已知椭圆C：
的左、右顶点分别为
，
，上、下顶点分别为
，
，四边形
的面积为
，坐标原点O到直线
的距离为
.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C上一点P作两条直线，分别与椭圆C相交于异于点P的点A，B，若四边形
为平行四边形，探究四边形的面积是否为定值.若是，求出此定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）
；（2）是定值，定值为3.
【解析】
（1）由已知设直线
的方程为
，再利用已知条件列方程组，求出
即可得到椭圆的方程；
（2）当直线
的斜率不存在时，直线的方程为
，此时
，当直线的斜率存在时，设：
，
，
，
联立
，可得
，利用根与系数的关系，求出弦长AB，再结合点到直线的距离公式求解三角形的面积，可推出结论.
（1）直线的方程为，
由题意可得
，解得
，
∴椭圆C的方程为
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时
当直线的斜率存在时，设：，，，
联立，可得，
则
，
，
，
，
∵四边形
为平行四边形，∴
，∴
，
∵点P在椭圆上，∴
，整理得
，
，
原点O到直线的距离
，
，
综上，四边形的面积为定值3.
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