Question

【题目】已知椭圆C：的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，四边形的面积为，坐标原点O到直线的距离为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过椭圆C上一点P作两条直线，分别与椭圆C相交于异于点P的点A，B，若四边形为平行四边形，探究四边形的面积是否为定值.若是，求出此定值；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）是定值，定值为3.

【解析】

（1）由已知设直线的方程为，再利用已知条件列方程组，求出即可得到椭圆的方程；

（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，当直线的斜率存在时，设：，，，

联立，可得，利用根与系数的关系，求出弦长AB，再结合点到直线的距离公式求解三角形的面积，可推出结论.

（1）直线的方程为，

由题意可得，解得，

∴椭圆C的方程为

（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时

当直线的斜率存在时，设：，，，

联立，可得，

则，

，，

，

∵四边形为平行四边形，∴，∴，

∵点P在椭圆上，∴，整理得，

，

原点O到直线的距离，

，

综上，四边形的面积为定值3.