题目内容
【题目】已知直线l：
与椭圆
交于A，B两点，点P是椭圆C上异于A，B的一个动点，点Q在直线AB上，满足
(
为坐标原点)
（1）求点Q的轨迹方程；
（2）求四边形OAPB的面积S的最大值．
【答案】（1）
；（2） 最大值12．
【解析】
（1）由条件用Q点坐标表示出P点坐标，再代入椭圆方程即可得到Q点的轨迹方程；
（2）由Q的轨迹与直线l有交点，求出k，m的不等关系，由
有
，求出
的表达式，然后换元，利用k，m的不等关系求出新的自变量的范围，从而可求面积的最大值．
（1）设
，
；
由有：
，
又点P在椭圆C上，则
，即
，
所以点Q的轨迹方程：
；
（2）设
，
，由有，
则
消去y可得：
，
则
，
，
又直线l与椭圆有公共点；
所以
有：
，
，即
，
原点到直线l的距离为
，又
，则
，
设
，则
，
当
时，即
时，有最大值4，
故S有最大值12．
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【题目】某公司生产某种产品，一条流水线年产量为
件，该生产线分为两段，流水线第一段生产的半成品的质量指标会影响第二段生产成品的等级，具体见下表：
第一段生产的半成品质量指标 |
|
|
|
第二段生产的成品为一等品概率 | 0.2 | 0.4 | 0.6 |
第二段生产的成品为二等品概率 | 0.3 | 0.3 | 0.3 |
第二段生产的成品为三等品概率 | 0.5 | 0.3 | 0.1 |
从第一道生产工序抽样调查了
件，得到频率分布直方图如图：
若生产一件一等品、二等品、三等品的利润分别是元、
元、
元.
（Ⅰ）以各组的中间值估计为该组半成品的质量指标，估算流水线第一段生产的半成品质量指标的平均值；
（Ⅱ）将频率估计为概率，试估算一条流水线一年能为该公司创造的利润；
（Ⅲ）现在市面上有一种设备可以安装到流水线第一段，价格是
万元，使用寿命是
年，安装这种设备后，流水线第一段半成品的质量指标服从正态分布
，且不影响产量.请你帮该公司作出决策，是否要购买该设备？说明理由.
（参考数据：
，
，
）
