题目内容

平面直角坐标系中,O为坐标原点,给定两点M(1,-3)N(5,1),若点C满足
OC
=t
OM
+(1-t)
ON
(t∈R)

(Ⅰ)求点C的轨迹方程;
(Ⅱ)设点C的轨迹与抛物线y2=4x交于A、B两点,求证:
OA
OB

(Ⅲ)求以AB为直径的圆的方程.
分析:(Ⅰ)由
OC
=t
OM
+(1-t)
ON
(t∈R)
知点C的轨迹是M,N两点所在的直线,由此可求出点C的轨迹方程.
(Ⅱ)由
y=x-4
y2=4x
?(x-4)2=4x?x2-12x+16=0
,设A(x1,y1),B(x2,y2),能够推导出x1x2+y1y2=0,故
OA
OB

(Ⅲ)由题意知AB的中点C的坐标为(6,2).|OC|=2
10
为圆的半径.由此可知所求圆的方程为(x-6)2+(y-2)2=40.
解答:解:(Ⅰ):由
OC
=t
OM
+(1-t)
ON
(t∈R)

知点C的轨迹是M,N两点所在的直线,
故点C的轨迹方程是:y+3=
1-(-3)
4
(x-1)
即y=x-4(3分)
(Ⅱ)由
y=x-4
y2=4x
?(x-4)2=4x?x2-12x+16=0
(5分)
设A(x1,y1),B(x2,y2)∴x1x2=16x1+x2=12(6分)
∴y1y2=(x1-4)(x2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16=-16(8分)
∴x1x2+y1y2=0故
OA
OB
(10分)
(Ⅲ)∵x1+x2=12,∴y1+y2=x1+x2-8=12-8=4
∴AB的中点C的坐标为(6,2).
又∵
OA
OB
,∴|OC|=2
10
为圆的半径.
∴所求圆的方程为(x-6)2+(y-2)2=40(14分)
点评:本题以圆的知识为载体考查轨迹的方程,解题时要认真审题,仔细解答.
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