Question

【题目】已知函数f（x）=log2（ ）﹣x（m为常数）是奇函数．
（1）判断函数f（x）在x∈（ ，+∞）上的单调性，并用定义法证明你的结论；
（2）若对于区间[2，5]上的任意x值，使得不等式f（x）≤2x+m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由条件可得f（﹣x）+f（x）=0，即 ，

化简得1﹣m2x2=1﹣4x2，从而得m=±2；由题意m=﹣2舍去，

所以m=2，即 ， 上为单调减函数；

证明如下：设 ，则f（x1）﹣f（x2）=log2（ ）﹣x1﹣log2（ ）+x2，

因为 ＜x1＜x2，所以x2﹣x1＞0，2x1﹣1＞0，2x2﹣1＞0；

所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）；

所以函数f（x）在x∈（ ，+∞）上为单调减函数

（2）解：设g（x）=f（x）﹣2x，由（1）得f（x）在x∈（ ，+∞）上为单调减函数，

所以g（x）=f（x）﹣2x在[2，5]上单调递减；

所以g（x）=f（x）﹣2x在[2，5]上的最大值为 ，

由题意知n≥g（x）在[2，5]上的最大值，所以

【解析】（1）求出m的值，求出f（x）的解析式，根据函数单调性的定义证明即可；（2）设g（x）=f（x）﹣2x，根据函数的单调性求出g（x）的最大值，从而求出n的范围即可．