Question

设函数f（x）=x³-6x+5，x∈R
（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；并求该曲线在x=1处的切线方程．
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，求实数a的取值范围．
（Ⅲ）已知当x∈（1，+∞）时，f（x）≥k（x-1）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）对函数f（x）=x³-6x+5求导，得函数f′（x）=3x²-6
令f′（x）＞0，即3x²-6＞0，解得x＞

2

，或x＜-

2

f′（x）＜0，即3x²-6＜0，解得-

2

＜x＜

2

f′（x）=0，即3x²-6=0，解得x=

2

，或=＜-

2

f（-

2

）=5+4

2

，f（

2

）=5-4

2

∴f（x）的单调递增区间是（-∞，-

2

）及（

2

，+∞），单调递减区间是（-

2

，

2

）
当x=-

2

，f（x）有极大值5+4

2

；当x=

2

，f（x）有极小值5-4

2

又∵f′（1）=-3，f（1）=0
∴曲线在x=1处的切线方程为y=-3x+3                 
（Ⅱ）当5-4

2

＜a＜5+4

2

时，直线y=a与y=f（x）的图象有3个不同交点，此时方程f（x）=a有3个不同实根．
∴实数a的取值范围为（5-4

2

，5+4

2

）
（Ⅲ）x∈（1，+∞）时，f（x）≥k（x-1）恒成立，也就是k≤

x3-6x+5

x-1

恒成立，
令g（x）=

x3-6x+5

x-1

，则g（x）=

(x2+x-5)(x-1)

x-1

=x²+x-5，
∴g（x）的最小值为-3，∴k≤-3