Question

已知函数f（x）=2acos²x+bsinxcosx，且f（0）=2，f(

π

3

)=

1

2

+

3

2

，求使f（x）＞2的x的集合．

Answer 1

分析：直接利用f（0）=2，f(

π

3

)=

1

2

+

3

2

，得到方程组求出a，b的值，然后利用二倍角、两角和的正弦函数化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，利用f（x）＞2，利用正弦函数值域，求出不等式的解集即可．

解答：解：由题意

f(0)=2acos0+bsin0cos0=2a=2 f( π 3 )=2acos2 π 3 +bsin  π 3 cos π 3 = 1 2 a+ 3 4 b= 1 2 + 3 2

⇒

2a=2 1 2 a+ 3 4 b= 1 2 + 3 2

⇒

a=1 b=2

…（4分）
∴f（x）=2cos²x+2sinxcosx=sin2x+cos2x+1
=

2

(

2

2

sin2x+

2

2

cos2x)+1
=

2

sin(2x+

π

4

)+1…（9分）
又f（x）＞2，

2

sin(2x+

π

4

)+1＞2，
即sin（2x+

π

4

）＞

2

2

⇒2kπ+

π

4

＜2x+

π

4

＜2kπ+

3π

4

，k∈Z
即：kπ＜x＜kπ+

π

4

，k∈Z…（12分）
所求使f（x）＞2的x的集合为{x|kπ＜x＜kπ+

π

4

，k∈Z}…（13分）

点评：本题是中档题，考查函数解析式的求法，三角不等式的解法，考查计算能力，转化思想．