题目内容
【题目】椭圆的左、右焦点分别是
,
,离心率为
,过
且垂直于
轴的直线被椭圆
截得的线段长为1.
(1)求椭圆的方程;
(2)点是椭圆
上除长轴端点外的任一点,连接
,
,设
的角平分线
交
的长轴于点
,求
的取值范围;
(3)在(2)的条件下,过点作斜率为
的直线
,使得
与椭圆
有且只有一个公共点,设直线
,
的斜率分别为
,
,若
,证明
为定值,并求出这个定值.
【答案】(1);(2)
;(3)见解析,定值为
.
【解析】
(1)将代入椭圆
方程可得
,从而可得
,再结合
及
,即可求椭圆
的方程;
(2)设,分别求出直线
,
的方程,利用角平分线的性质:角平分线上任一点到角两边的距离相等,列出关于
方程,结合
消去
,将
用
表示,利用
的有界性即可求出
的范围;
(3)将直线方程
与椭圆
的方程联立,消去
,得到关于
的一元二次方程,因
与椭圆
有且只有一个公共点,故由
,可求出
,再利用斜率公式求出
,即可求出定值.
(1)由于,将
代入椭圆方程
,得
.
由题意知,即
.
又,
,所以
,
.
所以椭圆的方程为
.
(2)设,又
,
,所以直线
,
的方程分别为
,
.
由题意知.
由于点在椭圆上,所以
.
所以.
因为,
,可得
,
所以,因此
.
(3)设,则直线
的方程为
.
联立得,
整理得.
由题意,即
.
又,所以
,故
.
由(2)知,
所以,
因此为定值,这个定值为
.
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