题目内容

2008年北京奥运会中国跳水梦之队取得了辉煌的成绩．据科学测算，跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动轨迹（如图所示）是一经过坐标原点的抛物线（图中标出数字为已知条件），且在跳某个规定动作时，正常情况下运动员在空中的最高点距水面 $数学公式$ 米，入水处距池边4米，同时运动员在距水面5米或5米以上时，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动轨迹为（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时距池边的水平距离为 $数学公式$ 米，问此次跳水会不会失误？请通过计算说明理由；
（3）某运动员按（1）中抛物线运行，要使得此次跳水成功，他在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离至多应为多大？

解：（1）由已知可设抛物线方程为 $\text{[math]}$
又抛物线过（0，0）和（2，-10）
代入解得 $\text{[math]}$ ，
所以解析式为： $\text{[math]}$
（2）当运动员在空中距池边的水平距离为 $\text{[math]}$ 米时，
即 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$
所以此时运动员距水面距离为 $\text{[math]}$ ，故此次跳水会出现失误
（3）要使得某次跳水成功，必须 $\text{[math]}$
解不等式得 $\text{[math]}$
所以运动员此时距池边的水平距离最大为 $\text{[math]}$ 米．
分析：（1）根据运动员在空中的最高点距水面 $\text{[math]}$ 米可将抛物线方程设成顶点式 $\text{[math]}$
，然后将（0，0）和（2，-10）代入即可求出抛物线方程；
（2）当运动员在空中距池边的水平距离为 $\text{[math]}$ 米时，求出该点的坐标，然后根据运动员在距水面5米或5米以上时，必须完成规定的翻腾动作进行判定；
（3）要使得某次跳水成功，必须10+y≥5，解不等式即可求出所求．
点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及二次函数的应用和一元二次不等式的解法，解决应用题的关键是弄清题意，属于中档题．