题目内容
某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2008年北京奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足关系式：x=3-
．已知2008年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若化妆品的年销售收入额为其年生产成本的150%与年促销费的一半之和．问：该企业2008年的促销费投入多少万元时，企业的年利润y（万元）最大？（利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用）
| 2 | t+1 |
分析：根据年生产成本=年生产费用+年固定费用，年利润=销售收入-生产成本-促销费，可得年利润的函数，利用基本不等式可求函数的最值．
解答：解：当年生产x（万件）时，年生产成本=年生产费用+年固定费用=32x+3=32（3-
）+3，
年销售收入=150%[32（3-
）+3]+
．
∵年利润=销售收入-生产成本-促销费，
∴y=150%[32（3-）+3]+-[32（3-）+3]-t=
[32（3-
）+3]-
=50-
[
+（t+1）]≤50-
•2
=42（万元），
当且仅当
=t+1，即t=7时ymax=42．
∴当促销费定在7万元时，利润最大．
| 2 |
| t+1 |
年销售收入=150%[32（3-
| 2 |
| t+1 |
| t |
| 2 |
∵年利润=销售收入-生产成本-促销费，
∴y=150%[32（3-）+3]+-[32（3-）+3]-t=
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| t+1 |
| t |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 64 |
| t+1 |
| 1 |
| 2 |
|
当且仅当
| 64 |
| t+1 |
∴当促销费定在7万元时，利润最大．
点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式的运用，确定函数的解析式是关键．
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