Question

已知y=f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）=x+

a

x

(a＞0)，当x∈[-3，-1]时，n≤f（x）≤m恒成立．
（Ⅰ） 若a=1，求m-n的最小值；
（Ⅱ） 求m-n的最小值g（a）；
（Ⅲ）当a＞16时，是否存在k∈（1，2]，使得不等式f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）对任意x∈R恒成立？若存在，求出实数k的范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）a=1，f（x）在区间[1，3]上单调递增，即f（x）∈[f（1），f（3）]，从而可求m-n的最小值；
（Ⅱ）先确定 x∈[1，3]时，m-n的最小值，再根据函数是偶函数，可知当x∈[-3，-1]时，m-n的最小值．由于当x＞0，f（x）=x+

a

x

(a＞0)在（0，

a

）上单调递减，[

a

，+∞)上单调递增，故需要进行分类讨论；
（Ⅲ） 由（Ⅱ） 可知当a＞16时f（x）为单调函数，利用单调性直接转化为k-cosx≤k²-cos²x恒成立，分离参数求解即可．

解答：解：（Ⅰ）a=1，f（x）在区间[1，3]上单调递增，即f（x）∈[f（1），f（3）]，
所以，当x∈[1，3]时，m-n≥f(3)-f(1)=

4

3

因为函数为偶函数，所以当x∈[-3，-1]时，m-n≥f(3)-f(1)=

4

3

（Ⅱ） 当x＞0，f（x）=x+

a

x

(a＞0)在（0，

a

）上单调递减，[

a

，+∞)上单调递增
若a≥9，则

a

≥3，所以函数f（x）在区间[1，3]上单调递减，即f（x）∈[f（3），f（1）]，
所以，当x∈[1，3]时，m-n≥f(1)-f(3)=

2

3

a-2，
因为函数为偶函数，所以当x∈[-3，-1]时，m-n≥f(1)-f(3)=

2

3

a-2，
若

a

≤1，即0＜a≤1，f（x）在区间[1，3]上单调递增，即f（x）∈[f（1），f（3）]，
所以，当x∈[1，3]时，m-n≥f(3)-f(1)=2-

2

3

a
因为f（1）=f（a）
若1＜

a

＜a≤3，即1＜a≤3，当x∈[1，3]时，f(x)max=f(3)，f(x)min=f(

a

)，
所以m-n≥3+

a

3

-2

a

若3＜

a

＜3，即3＜a＜9，当x∈[1，3]时，f(x)max=f(1)，f(x)min=f(

a

)，
所以m-n≥1+a-2

a

综上所述，因为函数为偶函数，所以当x∈[-3，-1]时，g(a)=

2- 2a 3 ，0＜a≤1 3+ a 3 -2 a ，1＜a＜3 1+a-2 a ，3＜a＜9 2 3 a-2，a≥9

（Ⅲ） 当k∈（1，2]时，0＜k-cosx≤3，0＜k²-cos²x≤4．
由（Ⅱ）知，：由a＞16，f（x）在（0，

a

）上是减函数，故f（x）在（0，4）上是减函数，
要使f（k-cosx）≥f（k²-cos²x），x∈R，只要k-cosx≤k²-cos²x（x∈R）即cos²x-cosx≤k²-k（x∈R）①
设 g(x)=cos2x-cosx=(cosx-

1

2

)2-

1

4

，则函数g（x）在R上的最大值为2．
要使①式恒成立，必须k²-k≥2，即k≥2或k≤-1．                
所以，在区间k∈（1，2]上存在k=2，使得原不等式对任意的x∈R恒成立．

点评：本题以对勾函数为载体，考查函数的最值，考查函数的单调性，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．