Question

已知指数函数y=g（x）满足：g(-3)=

1

8

，定义域为R的函数f（x）=

-g(x)+n

2g(x)+m

是奇函数．
（1）确定函数g（x）与f（x）的解析式；
（2）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设出指数函数y=g（x），通过满足：g(-3)=

1

8

，即可求出y=g（x）的解析式；0满足函数的表达式，利用f（0）=0，f（1）=-f（-1），解方程组即可求出m，n的值，得到函数f（x）的解析式；
（2）由已知易知函数f（x）在定义域f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．我们可将f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0转化为一个关于实数t的不等式组，解不等式组，即可得到实数t的取值范围．

解答：解：（1）∵指数函数y=g（x）=a^x满足：g(-3)=

1

8

，a-3=

1

8

∴a=2；
∴g（x）=2^x；所以f（x）=

-2x+n

2x+1+m

，因为它是奇函数．0是函数的定义域的值，
所以f（0）=0，即

n-1

2+m

=0，∴n=1；
∴f（x）=

-2x+1

2x+1+m

，又由f（1）=-f（-1）知

1-2

4 +m

=-

1- 1 2

1 +m

，∴m=2；
f（x）=

-2x+1

2x+1+2

．
（2）由（1）知f（x）=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，
易知f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．
又因f（x）是奇函数，从而不等式：
f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0等价于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²），
因f（x）为减函数，由上式推得：t²-2t＞k-2t²，
即对一切t∈R有：3t²-2t-k＞0，
从而判别式△=4+12k＜0，解得：k＜-

1

3

．

点评：本题是中档题；考查的知识点：待定系数法求指数函数的解析式，函数的奇偶性和函数单调性的性质，其中根据函数的单调性将f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0转化为一个关于实数t的不等式组是解答本题的关键，体现了转化的思想，考查了运算能力和灵活应用知识分析解决问题的能力．