Question

已知指数函数y=g（x）满足：g（2）=4，定义域为R，函数f(x)=

-g(x)+n

2g(x)+m

是奇函数．
（1）确定y=g（x）的解析式；
（2）求m，n的值；
（3）若对任意的t∈[1，3]，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设g（x）=a^x（a＞0且a≠1），利用g（2）=4，可得a²=4，解得a即可；
（2）由（1）可得：f(x)=

-2x+n

2x+1+m

，利用函数f（x）是奇函数可得f（-x）+f（x）=0，解出即可；
（3）分类讨论：①当

n=1 m=2

时，f（x）=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

在R上是减函数．
于是：对任意的t∈[1，3]，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＞0恒成立，即f（t²-2t）＞-f（2t²-k）=f（k-2t²）恒成立，
可得t²-2t＜k-2t²，化为k＞3t²-2t在t∈[1，3]上恒成立?k＞（3t²-2t）_max，t∈[1，3]．利用二次函数的单调性即可得出；
②当

n=-1 m=-2

时，f（x）=

-2x-1

2x+1-2

=-

1

2

-

1

2x-1

，在[1，3]上是增函数，
于是对任意的t∈[1，3]，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＞0恒成立，可得f（t²-2t）＞-f（2t²-k）=f（k-2t²）恒成立，
即k-2t²＜t²-2t．化为k＜3t²-2t，t∈[1，3]．同法①即可．

解答：解：（1）设g（x）=a^x（a＞0且a≠1），∵g（2）=4，∴a²=4，解得a=2．∴g（x）=2^x．
（2）由（1）可得：f(x)=

-2x+n

2x+1+m

，
∵函数f（x）是奇函数，∴f（-x）+f（x）=0，∴

-2-x+n

2-x+1+m

+

-2x+n

2x+1+m

=0，化为（2n-m）（2^x+2^-x）+（2mn-4）=0．
上式对于定义域内的实数x都成立，∴

2n-m=0 2mn-4=0

，解得

n=1 m=2

，或

n=-1 m=-2

．
（3）①当

n=1 m=2

时，f（x）=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

在R上是减函数．
∵对任意的t∈[1，3]，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＞0恒成立，∴f（t²-2t）＞-f（2t²-k）=f（k-2t²）恒成立，
∴t²-2t＜k-2t²，化为k＞3t²-2t在t∈[1，3]上恒成立?k＞（3t²-2t）_max，t∈[1，3]．
令g（t）=3t2-2t=3(t-

1

3

)2-

1

3

，∵g（t）在t∈[1，3]上单调递增，∴g（t）_max=g（3）=21．
∴k＞21，即实数k的取值范围是（21，+∞）．
②当

n=-1 m=-2

时，f（x）=

-2x-1

2x+1-2

=-

1

2

-

1

2x-1

，在[1，3]上是增函数，
∵对任意的t∈[1，3]，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＞0恒成立，∴f（t²-2t）＞-f（2t²-k）=f（k-2t²）恒成立，
∴k-2t²＜t²-2t．化为k＜3t²-2t，t∈[1，3]．
同①可得：k的取值范围是（-∞，1）．

点评：本题综合考查了指数函数的定义及其性质、函数的奇偶性、单调性、恒成立问题的等价转化、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题．