题目内容

在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，其前n项和S_n满足 $数学公式$ ．
（1）求a_n；
（2）令 $数学公式$ ，求数列{b_n}的前项和T_n．

解：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴S_n-1-S_n=2S_nS_n-1，
∴ $\text{[math]}$ ，
即数列 $\text{[math]}$ 为等差数列，S₁=a₁=1，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，…（4分）
当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ …（8分）
（2） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
分析：（1）当n≥2时，由a_n=S_n-S_n-1，代入已知整理可得S_n-1-S_n=2S_nS_n-1，即 $\text{[math]}$ ，结合等差数列的通项公式可求S_n，进而可求当n≥2时a_n，在对n=1时求a₁，从而可求a_n
（2）由于 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，考虑利用裂项求和即可
点评：本题主要考查了利用递推公式 $\text{[math]}$ 求解数列的通项公式，要注意对n=1的检验是做题中容易漏掉的知识点，还考查了裂项求和方法的应用．

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在数列{a_n}中，a 1=

，并且对任意n∈N^*，n≥2都有a_n•a_n-1=a_n-1-a_n成立，令b_n=

（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{

}的前n项和为T_n，证明：

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（n∈N^*）．
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}的前n项和为T_n，证明：