Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数． 当a，b∈[-1，1]，且a+b≠0时，有

f(a)+f(b)

a+b

＞0成立．
（Ⅰ）判断函f（x）的单调性，并证明；
（Ⅱ）若f（1）=1，且f（x）≤m²-2bm+1对所有x∈[-1，1]，b∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）在[-1，1]上为增函数，利用函数的单调性定义，结合a+b≠0时，有

f(a)+f(b)

a+b

＞0成立，可证；
（Ⅱ） 根据f（x）在[-1，1]上为增函数，对所有的x∈[-1，1]，b∈[-1，1]，有f（x）≤m²-2bm+1恒成立，应有m²-2bm+1≥f（1）=1⇒m²-2bm≥0．  记g（b）=-2mb+m²，对所有的b∈[-1，1]，g（b）≥0成立，从而只需g（b）在[-1，1]上的最小值不小于零，故可解．

解答：解：（Ⅰ）f（x）在[-1，1]上为增函数
证明：设x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，在

f(a)+f(b)

a+b

＞0中，令a=x₁，b=-x₂，有

f(x1)+f(-x2)

x1-x2

＞0，
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，又∵f（x）是奇函数，
∴f（-x₂）=-f（x₂），∴

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
故f（x）在[-1，1]上为增函数…（6分）
（Ⅱ）∵f（1）=1  且f（x ）在[-1，1]上为增函数，对x∈[-1，1]，有f（x）≤f（1）=1．
由题意，对所有的x∈[-1，1]，b∈[-1，1]，有f（x）≤m²-2bm+1恒成立，
应有m²-2bm+1≥1⇒m²-2bm≥0．  记g（b）=-2mb+m²，对所有的b∈[-1，1]，g（b）≥0成立．
只需g（b）在[-1，1]上的最小值不小于零…（8分）
若m＞0时，g（b）=-2mb+m²是减函数，故在[-1，1]上，b=1时有最小值，
且[g（b）]_最小值=g（1）=-2m+m²≥0⇒m≥2；
若m=0时，g（b）=0，这时[g（b）]_最小值=0满足题设，故m=0适合题意；
若m＜0时，g（b）=-2mb+m²是增函数，故在[-1，1]上，b=-1时有最小值，
且[g（b）]_最小值=g（-1）=2m+m²≥0⇒m≤-2．
综上可知，符合条件的m的取值范围是：m∈（-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞）．

点评：本题的考点是函数恒成立问题，以奇函数为依托，证明函数的单调性，考查函数恒成立问题，关键是转换为研究函数的最值．