题目内容

已知椭圆E的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线的焦点是它的一个焦点，又点在该椭圆上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若斜率为直线l与椭圆E交于不同的两点B、C，当△ABC面积的最大值时，求直线l的方程．
【答案】分析：（1）求出抛物线的焦点，即得椭圆的焦点，设出椭圆方程为将点A（1，）代入，求出a，即得椭圆方程；
（2）用待定系数法设直线BC的方程为y=x+m，将其与椭圆的方程联立求同弦长BC，再求出点A到此弦的距离，将三角形的面积用参数表示出，判断出它取到最大值时的参数m的值即可得到直线l的方程
解答：解：（1）由已知抛物线的焦点为（0，-），故设椭圆方程为．
将点A（1，），代入方程得，，得a2=4或a2=1（舍）（4分）
故所求椭圆方程为（5分）
（2）设直线BC的方程为y=x+m，设B（x1，y1），C（x2，y2）
代入椭圆方程并化简得，
由△=8m2-16（m2-4）=8（8-m2）＞0可得m2＜8，①
由，
故|BC|=|x1-x2|=．
又点A到BC的距离为d=
故=≤×=
当且仅当2m2=16-2m2，即m=±2时取等号（满足①式），S取得最大值．
此时求直线l的方程为y=x±2．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，解题的关键是设出直线的方程，根据直线与圆锥曲线的位置关系，将三角形的面积用参数表示出来，本题解题过程中利用判别式判断出最值取到时参数的值，这是本题中的一个难点，由于对知识掌握得不熟练，答题者可能到这里就不知道怎么来求参数的值，导致解题失败，数学学习，知识掌握得全面是灵活运用的基础．
练习册系列答案
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已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A(-2，0)，B(2，0)，C(1，
32
)三点
（1）求椭圆方程
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已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A（-2，0）、B（2，0）、C(1，
32
)三点．
（1）求椭圆E的方程：
（2）若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，F（-1，0），H（1，0），当△DFH内切圆的面积最大时．求内切圆圆心的坐标．
（2013•闵行区二模）已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，且经过M(2，1)，N(2
2
，0)两点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若平行于OM的直线l在y轴上的截距为b（b＜0），直线l交椭圆E于两个不同点A、B，直线MA与MB的斜率分别为k1、k2，求证：k1+k2=0．
已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A（-2，0）、B（2，0）、C(1，
32
)三点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，F（-1，0），H（1，0），当△DFH内切圆的面积最大时，求内切圆圆心的坐标；
（3）若直线l：y=k（x-1）（k≠0）与椭圆E交于M、N两点，证明直线AM与直线BN的交点在定直线上并求该直线的方程．
已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，且经过M(2，1)、N(2
2
，0)两点，P是E上的动点．
（1）求|OP|的最大值；
（2）若平行于OM的直线l在y轴上的截距为b（b＜0），直线l交椭圆E于两个不同点A、B，求证：直线MA与直线MB的倾斜角互补．

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