题目内容
9．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=ax3-$\frac{1}{2}$x-$\frac{2}{3e}$，记函数f（x）与g（x）的交点坐标为（x0，f（x0）），若两函数的图象在交点（x0，f（x0））处存在公切线，则实数a的值为（ ）| A． | $\frac{2}{3e}$ | B． | $\frac{{e}^{2}}{6}$ | C． | $\frac{{e}^{2}}{2}$ | D． | $\frac{3e}{2}$ |
分析 设交点为（x0，x0lnx0），分别求出f（x），g（x）的导数，由题意可得切线的斜率相等且切点重合，得到x0，a的方程，消去a，可得1+ex0lnx0=0，令h（x）=1+exlnx，运用求得，判断单调区间，即可得到x0=$\frac{1}{e}$，进而得到a的值．
解答 解：由题意可得交点为（x0，x0lnx0），
函数f（x）=xlnx的导数为f′（x）=lnx+1，
g（x）=ax3-$\frac{1}{2}$x-$\frac{2}{3e}$的导数为g′（x）=3ax2-$\frac{1}{2}$，
由题意可得，1+lnx0=3ax02-$\frac{1}{2}$，且x0lnx0=ax03-$\frac{1}{2}$x0-$\frac{2}{3e}$，
消去a，可得1+ex0lnx0=0，
令h（x）=1+exlnx，h′（x）=e（lnx+1），
当x＞$\frac{1}{e}$时，h′（x）＞0，h（x）递增；
当0＜x＜$\frac{1}{e}$时，h′（x）＜0，h（x）递减．
即有x=$\frac{1}{e}$处h（x）取得极小值，也为最小值，且为0．
则1+ex0lnx0=0，解得x0=$\frac{1}{e}$，
代入1+lnx0=3ax02-$\frac{1}{2}$，可得a=$\frac{1}{6}$e2．
故选B．
点评 本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，同时考查导数的运用：求最值，正确求导和化简整理的运算是解题的关键．
练习册系列答案
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| A． | （$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$） | B． | （$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$） | C． | （$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$） | D． | （0，$\frac{π}{6}$） |