题目内容

如图，过椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的动点M引圆O：x²+y²=b²的两条切线MA，MB，其中A，B分别为切点，，若椭圆上存在点M，使∠BMA=

π

2

，则该椭圆的离心率为

．

分析：由∠AMB=90°及圆的性质，可得 |OM|=

2

b，故|OM|²=2b²≤a²，a²≤2c²，由此可得到椭圆离心率的取值范围．

解答：解：由∠APB=90°及圆的性质，
可得 |OM|=

2

b，∴|OM|²=2b²≤a²，
∴a²≤2c²∴e2≥

1

2

，

2

2

≤e＜1．
故答案为：[

2

2

，1）

点评：本题考查直线和椭圆的位置关系和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件．

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如图，已知直线L：x=my+1过椭圆C：

=1(a＞b＞0)的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线G：x=a²上的射影依次为点D，K，E，
（1）已知抛物线x2=4

y的焦点为椭圆C的上顶点．
①求椭圆C的方程；
②若直线L交y轴于点M，且

，当m变化时，求λ₁+λ₂的值；
（2）连接AE，BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出N点的坐标并给予证明；否则说明理由．

附加题：如图，过椭圆C：

=1（a＞b＞0）上一动点P引圆x²+y²=b²的两条切线PA，PB（A，B为切点）．直线AB与x轴、y轴分别交于M、N两点．
①已知P点的坐标为（x₀，y₀），并且x₀•y₀≠0，试求直线AB的方程；
②若椭圆的短轴长为8，并且

，求椭圆C的方程；
③椭圆C上是否存在P，由P向圆O所引两条切线互相垂直？若存在，求出存在的条件；若不存在，说明理由．

附加题：如图，过椭圆C： $数学公式$ （a＞b＞0）上一动点P引圆x²+y²=b²的两条切线PA，PB（A，B为切点）．直线AB与x轴、y轴分别交于M、N两点．
①已知P点的坐标为（x₀，y₀），并且x₀•y₀≠0，试求直线AB的方程；　　
②若椭圆的短轴长为8，并且 $数学公式$ ，求椭圆C的方程；
③椭圆C上是否存在P，由P向圆O所引两条切线互相垂直？若存在，求出存在的条件；若不存在，说明理由．

如图，过椭圆C：

=1（a＞b＞0）上的动点M引圆O：x²+y²=b²的两条切线MA，MB，其中A，B分别为切点，，若椭圆上存在点M，使∠BMA=

，则该椭圆的离心率为．