Question

已知函数f(x)= ax+b 1+x2 是定义域为(-1，1)的奇函数，且f( 1 2 )= 2 5 . (1)求实数a、b的值； (2)判断f(x)在(-1，1)上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式：f(t-1)+f(t)＜0.

．

Answer 1

分析：（1）根据题意可得f（0）=0，又f（

1

2

）=

2

5

，解方程组即可求得a，b；
（2）在（-1，1）上任取两数x₁，x₂，且-1＜x₁＜x₂＜1，利用作差比较f（x₁）与f（x₂）的大小，根据单调性的定义即可判断证明其单调性；
（3）借助函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f”，从而变为具体不等式，注意考虑函数定义域．

解答：解：（1）由题意可得

f(0)=0 f( 1 2 )= 2 5

，即

b=0 1 2 a+b 1+ 1 4 = 2 5

，解得a=1，b=0．
（2）f（x）在（-1，1）上是增函数，下面证明：
在（-1，1）上任取两数x₁，x₂，且-1＜x₁＜x₂＜1，
则f（x₁）-f（x₂）=

x1

1+x12

-

x2

1+x22

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴x₁-x₂0，
故f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在（-1，1）上为增函数．
（3）f（x）为奇函数，定义域为（-1，），
由f（t-1）+f（t）＜0，得f（t-1）＜-f（t）=f（-t），
因为f（x）在（-1，1）上为增函数，
所以-1＜t-1＜-t＜1，解得0＜t＜

1

2

．
所以原不等式的解集为{t|0＜t＜

1

2

}．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查抽象不等式的求解，定义是判断函数奇偶性、单调性的常用方法，而解抽象不等式则往往运用函数性质转化为具体不等式求解．