题目内容

【题目】已知等差数列的前项和为,并且,数列满足:,记数列的前项和为

1)求数列的通项公式及前项和公式

2)求数列的通项公式及前项和公式

3)记集合,若的子集个数为16,求实数的取值范围.

【答案】123

【解析】

试题(1)数列是等差数列,可把已知用表示出来,列出方程组,解出,从而得到通项公式和胶项和;(2)由已知得,这是数列前后项的比值,因此可用连乘法求得通项,即,从而有,它可看作是一个等差数列和一个等比数列的乘积,因此其前项和用乘公比错位相减法求得;(3)由(1)(2)求得,不等式恒成立,即恒成立,只要求得的最小值即可,先求出前面几项,观察归纳猜想出单调性并给出证明(可用证明数列的单调性),从而可求得最小值,得范围.

试题解析:(1)设数列的公差为,由题意得

2)由题意得

叠乘得

由题意得

②-①得:

3)由上面可得

下面研究数列的单调性,

时,单调递减.

所以不等式解的个数为4.

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