题目内容

棱长为a的正方体内有一个球，与这个正方体的12条棱都相切，则这个球的体积应为

A.
4πa³
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

C
分析：根据长为a的正方体内有一个球，与这个正方体的12条棱都相切，则球的直径等于正方体两条不相邻且平行的棱之间的距离结合球及正方体的几何特征得到球半径，代入球的体积公式，即可得到答案．
解答：若球与这个正方体的12条棱都相切，
则球心在到12条棱的距离均相等
则球的直径等于正方体两条不相邻且平行的棱之间的距离
即当正方体的棱长为a时，则球的直径等于正方体任一面对角线的长度
∴2R= $\text{[math]}$ a
则R= $\text{[math]}$
则V= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故选C
点评：本题考查的知识点是球的表面积，其中根据正方体及球的几何特征及已知条件求出球的半径，是解答本题的关键．