Question

已知函数f（x）=（2x+2）e^-x（e为自然对数的底数）
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设函数φ（x）=

1

2

xf(x)+

1

2

tf′(x)+e-x，是否存在实数x₁，x₂∈[0，1]，使得2φ（x₁）＜φ（x₂）？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先求导数fˊ（x）然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间为单调增区间，fˊ（x）＜0的区间为单调减区间．
（2）假设存在实数x₁，x₂∈[0，1]，使得2φ（x₁）＜φ（x₂），则2[φ（x₁）]min＜φ[（x₂）]max
研究φ（x）在[0，1]上单调性，用t表示出φ（x）在[0，1]上的最值，解相关的关于t的不等式求出范围．

解答：解：（1）∵f′（x）=2e^-x-（2x+2）e^-x=

-2x

ex

∴f（x）在（-∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减．----（4分）
（Ⅱ）假设存在实数x₁，x₂∈[0，1]，使得2φ（x₁）＜φ（x₂），则2[φ（x₁）]min＜φ[（x₂）]max
--------（6分）
∵函数φ（x）=

1

2

xf(x)+

1

2

tf′(x)+e-x=

x2+(1-t)x+1

ex

∴φ′（x）=

-x2+(1+t)x-t

ex

=

-(x-t)(x-1)

ex

，
①当t≥1时，φ′（x）≤0，φ（x）在[0，1]上单调递减
∴2φ（1）＜φ（0），即2

3-t

e

＜1，得t＞3-

e

2

＞1．
②当t≤0时，φ′（x）＞0，φ（x）在[0，1]上单调递增．
∴2φ（0）＜φ（1），即2＜

3-t

e

，得t＜3-2e＜0----（10分）
③当0＜t＜1时，
在x∈[0，t），φ′（x）＜0，φ（x）在[0，t]上单调递减
在x∈（t，1]，φ′（x）＞0，φ（x）在[t，1]上单调递增．
∴2φ（t）＜max{ φ（0），φ（1）}，即2•

t+1

et

＜max{ 1，

3-t

e

}①
由（Ⅰ）知，f（t）=2•

t+1

et

在[0，1]上单调递减，故

4

e

≤2•

t+1

et

≤2，而

2

e

≤

3-t

e

≤

3

e

，所以不等式①
无解．综上所述，存在t∈(-∞，3-2e)∪(3-

e

2

，+∞），使命题成立．

点评：本题考查函数单调性与导数关系，求函数单调区间，求最值，最值的应用，分类讨论思想．关键是转化到2[φ（x₁）]min＜φ[（x₂）]max，难点在于分类讨论求相应的最值．