Question

5．已知点F的坐标为（0，$\frac{3}{2}$），动圆P经过点F且和直线y=-$\frac{3}{2}$相切．
（1）求动圆P的圆心轨迹W的方程；
（2）过点F的直线1，交轨迹W于A、B两点，若|AB|=12，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由动圆圆心P到F的距离等于P到y=$\frac{3}{2}$的距离，知P点的轨迹是抛物线，由此能求出动圆P的圆心轨迹W的方程．
（2）设直线方程为x=my-$\frac{3}{2}$m，代入x²=6y，整理，可得m²y²-（3m²+6）y+$\frac{9}{4}$m²=0，利用线段AB的长为12，求出m，即可求l的方程．

解答 解：（1）动圆圆心P到F的距离等于P到y=$\frac{3}{2}$的距离，
则P点的轨迹是抛物线，且p=3，
所以x²=6y为动圆P的圆心轨迹W的方程．
（2）设直线方程为x=my-$\frac{3}{2}$m，
代入x²=6y，整理，可得m²y²-（3m²+6）y+$\frac{9}{4}$m²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则y₁+y₂=3+$\frac{6}{{m}^{2}}$，
因为|AB|=12，
所以3+$\frac{6}{{m}^{2}}$+3=12，
所以m=±1，
所以直线l的方程为x-y+$\frac{3}{2}$=0或x+y-$\frac{3}{2}$=0．

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．