Question

5．已知x为实数，用表示不超过x的最大整数，例如[1，2]=1，[-1.2]=-2，[1]=1，对于函数f（x），若存在m∈R且m∉Z，使得f（m）=f（[m]），则称函数f（x）是Ω函数．
（Ⅰ）判断函数f（x）=x²-$\frac{1}{3}$x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）
（Ⅱ）设函数f（x）是定义R在上的周期函数，其最小正周期为T，若f（x）不是Ω函数，求T的最小值． 
（Ⅲ）若函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$是Ω函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据Ω函数的定义直接判断函数f（x）=x²-$\frac{1}{3}$x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；
（Ⅱ）根据周期函数的定义，结合Ω函数的条件，进行判断和证明即可．
（Ⅲ）根据Ω函数的定义，分别讨论a=0，a＜0和a＞0时，满足的条件即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=x²-$\frac{1}{3}$x是Ω函数，g（x）=sinπx不是Ω函数；------------------（4分）
（Ⅱ）T的最小值为1．--------------------------（11分）
因为f（x）是以T为最小正周期的周期函数，所以f（T）=f（0）．
假设T＜1，则[T]=0，所以f（[T]）=f（0），矛盾．--------------------------（6）
所以必有T≥1，
而函数l（x）=x-[x]的周期为1，且显然不是Ω函数，
综上，T的最小值为1．--------------------------（9分）
（Ⅲ） 当函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$是Ω函数时，
若a=0，则f（x）=x显然不是Ω函数，矛盾．------（10分）
若a＜0，则f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$＞0，
所以f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上单调递增，
此时不存在m＜0，使得 f（m）=f（[m]），
同理不存在m＞0，使得 f（m）=f（[m]），
又注意到m[m]≥0，即不会出现[m]＜0＜m的情形，
所以此时f（x）=x+$\frac{a}{x}$不是Ω函数．---------（11分）
当a＞0时，设f（m）=f（[m]），所以m+$\frac{a}{m}$=[m]+[$\frac{a}{m}$]，所以有a=m[m]，其中[m]≠0，
当m＞0时，
因为[m]＜m＜[m]+1，所以[m]²＜m[m]＜（[m]+1）[m]，
所以[m]²＜a＜（[m]+1）[m]，--------（12分）
当m＜0时，[m]＜0，
因为[m]＜m＜[m]+1，所以[m]²＞m[m]＞（[m]+1）[m]，
所以[m]²＞a＞（[m]+1）[m]，--------（13分）
记k=[m]，综上，我们可以得到
“a＞0且?x∈N^•，a≠k²且a≠k（k+1）．------（14分）

点评 本题主要考查与周期函数有关的新定义试题，考查学生的运算和推理能力，综合性较强，有一定的难度．