Question

【题目】已知f（x）=ex﹣ax2 ， g（x）是f（x）的导函数． （I）求g（x）的极值；
（II）证明：对任意实数x∈R，都有f′（x）≥x﹣2ax+1恒成立：
（Ⅲ）若f（x）≥x+1在x≥0时恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）=ex﹣ax2，g（x）=f′（x）=ex﹣2ax，g′（x）=ex﹣2a，

当a≤0时，g′（x）＞0恒成立，g（x）无极值；

当a＞0时，g′（x）=0，即x=ln（2a），

由g′（x）＞0，得x＞ln（2a）；由g′（x）＜0，得x＜ln（2a），

所以当x=ln（2a）时，有极小值2a﹣2aln（2a）．

（Ⅱ）因为f′（x）=ex﹣2ax，

所以要证f′（x）≥x﹣2ax+1，只需证ex≥x+1，

令k（x）=ex﹣1﹣x，则k′（x）=ex﹣1，且k′（x）＞0，得x＞0；k′（x）＜0，得x＜0，

∴k（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，

∴k（x）≥k（0）=0，即ex≥1+x恒成立，

∴对任意实数x∈R，都有f′（x）≥x﹣2ax+1恒成立；

（Ⅲ）令h（x）=ex﹣ax2﹣x﹣1，

则h′（x）=ex﹣1﹣2ax，注意到h（0）=h′（0）=0，

由（Ⅱ）知ex≥1+x恒成立，故h′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，

①当a≤ 时，1﹣2a≥0，h′（x）≥0，

于是当x≥0时，h（x）≥h（0）=0，即f（x）≥x+1成立．

②当a＞ 时，由ex＞1+x（x≠0）可得e﹣x＞1﹣x（x≠0）．

h′（x）＜ex﹣1+2a（e﹣x﹣1）=e﹣x（ex﹣1）（ex﹣2a），

故当x∈（0，ln（2a））时，h′（x）＜0，

于是当x∈（0，ln（2a））时，h（x）＜h（0）=0，f（x）≥x+1不成立．

综上，a的取值范围为（﹣∞， ]

【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，问题转化为证ex≥x+1，令k（x）=ex﹣1﹣x，根据函数的单调性证明即可；（Ⅲ）令h（x）=ex﹣ax2﹣x﹣1，通过讨论a的范围，得到函数的单调性，求出h（x）＜h（0），求出a的范围即可．
【考点精析】本题主要考查了函数的极值与导数和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．