Question

设函数f(x)的定义域为(-∞，+∞)，对于任意x、y∈(-∞，+∞)都有f(x+y)＝f(x)+f(y)，当x＞0时，f(x)＜0，则函数f(x)为

1. A.
   奇函数，且在(-∞，+∞)上为增函数
2. B.
   奇函数，且在(-∞，+∞)上为减函数
3. C.
   偶函数，且在(-∞，0)上为增函数
4. D.
   偶函数，且在(-∞，0)上为减函数，在(0，+∞)上为增函数

Answer 1

B
令x＝y＝0，得f(0)＝0再令y＝-x，得f(0)＝f(x)+f(-x)＝0．
∴f(x)为奇函数．
又设x₂＞x₁，f(x₂-x₁)＝f(x₂)+f(-x₁)＝f(x₂)-f(x₁)＜0，
∴f(x₂)＜f(x₁)．
∴f(x)在(-∞，+∞)上为减函数．