Question

（本小题满分12分）在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AA₁=1，AD=DC=. （1）求直线A₁C与D₁C₁所成角的正切值；（2）在线段A₁C上有一点Q，且C₁Q=C₁A₁，求平面QDC与平面A₁DC所成锐二面角的大小.

Answer 1

（1）      （2）30°

解析:

求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法  求二面角的大小也可应用面积射影法，向量法办 

解法一：（I）  为异面直线AC与D₁C所成的角   

    连AD，在Rt△ADC中，CD=，AD=2，

   （II）过Q作EF（在平面AC内）使EF//AB，      

    连B₁C、CF、DF，（面EFCD即平面QDC；面A₁B₁CD即平面A₁DC）

    即为二面角A₁—DC—Q的平面角. 

    ~.

  

    ，即所求二面角大小为30°          

    解法二：（I）同解法一（I）                        

   （II）建立空间直角坐标系，

   

   

   

       即平面QDC与平面A₁DC所成锐二面角为  。