Question

如图，在正方形中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为．分别将线段和十等分，分点分别记为和，连结，过做轴的垂线与交于点．

（1）求证：点都在同一条抛物线上，并求该抛物线的方程；

（2）过点做直线与抛物线交于不同的两点，若与的面积比为，求直线的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意，过且与x轴垂直的直线方程为

，直线的方程为

设坐标为，由得：，即，

都在同一条抛物线上，且抛物线方程为

（Ⅱ）依题意：直线的斜率存在，设直线的方程为

由得

此时，直线与抛物线恒有两个不同的交点

设：，则

又，

分别带入，解得

直线的方程为，即或