题目内容
已知点P为双曲线
-
=1(a＞0，b＞0)右支上一点，F1，F2为双曲线的左、右焦点．O为坐标原点，若(
+
)•
=0且△PF1F2的面积为2ac（c为双曲线半焦距）则双曲线的离心率为
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| OP |
| OF2 |
| F2P |
1+
| 2 |
1+
．| 2 |
分析：根据向量数量积的运算性质，可得|
|=
|
|，得△PF1F2是以P为直角顶点的直角三角形．由双曲线的定义结合勾股定理，算出S△PF1F2=c2-a2=2ac，将其转化为关于离心率e的方程，解之即可得到该双曲线的离心率．
| OP |
| 1 |
| 2 |
| F1F2 |
解答：解：∵
=
-
∴(
+
)•(
-
)=
2-
2=0
可得|
|=|
|=
|
|，所以△PF1F2是以P为直角顶点的直角三角形
∵|
|-|
|=±2a
∴（|
|-|
|）2=|
|2-2|
|•|
|+|
|2=4a2
∵|
|2+|
|2=4c2，|
|•|
|=2S△PF1F2，
∴4c2-4S△PF1F2=4a2，得S△PF1F2=c2-a2
∵由题意△PF1F2的面积为2ac，
∴c2-a2=2ac，两边都除以a2，得
-1=2•
整理，得e2-2e-1=0，解之得e=1±
（舍负）
故答案为：1+
| F2P |
| OP |
| OF2 |
∴(
| OP |
| OF2 |
| OP |
| OF2 |
| OP |
| OF2 |
可得|
| OP |
| OF2 |
| 1 |
| 2 |
| F1F2 |
∵|
| PF1 |
| PF2 |
∴（|
| PF1 |
| PF2 |
| PF1 |
| PF1 |
| PF2 |
| PF2 |
∵|
| PF1 |
| PF2 |
| PF1 |
| PF2 |
∴4c2-4S△PF1F2=4a2，得S△PF1F2=c2-a2
∵由题意△PF1F2的面积为2ac，
∴c2-a2=2ac，两边都除以a2，得
| c2 |
| a2 |
| c |
| a |
整理，得e2-2e-1=0，解之得e=1±
| 2 |
故答案为：1+
| 2 |
点评：本题给出双曲线的焦点三角是直角三角形，求该双曲线的离心率，着重考查了双曲线的简单几何性质、双曲线的离心率定义及其求法等知识，属于中档题．
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冲刺100分1号卷系列答案
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,则点P的坐标是_________________.
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