Question

（2013•永州一模）已知动圆过定点A（2，0），且与直线X=-2相切．
（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（2）是否存在过点（0，1）的直线l，与轨迹C交于P，Q两点，且以线段PQ为直径的圆过定点A？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用动圆过定点A（2，0），且与直线X=-2相切，根据抛物线的定义，可得轨迹C为以A（2，0）为焦点，X=-2为准线的抛物线，由此可得动圆圆心的轨迹C的方程；
（2）设出直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理及向量知识，即可求出直线l的方程．

解答：解：（1）由题意可知，圆心到定点A（2，0）的距离与到定直线X=-2的距离相等，
由抛物线定义可知，轨迹C为以A（2，0）为焦点，X=-2为准线的抛物线，
∴p=2，∴抛物线方程为y²=8x                  …（4分）
（2）假设存在直线l符合题意．…（5分）
由题意易知，直线l的斜率k存在且不为零，
又因过点（0，1），故设直线l的方程为y=kx+1，…（6分）
联立直线与抛物线方程得

y=kx+1 y2=8x

，消元整理得k²x²+（2k-8）x+1=0，
设交点坐标为P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则△=（2k-8）²-4k²＞0，∴k＜2 ①
且x₁+x₂=-

2k-8

k2

，x1x2=

1

k2

；                                         …（9分）
∴

AP

•

AQ

=（x₁-2，y₁）•（x₂-2，y₂）=（k²+1）x₁x₂+（k-2）（x₁+x₂）+5
=(k2+1)•

1

k2

+（k-2）•（-

2k-8

k2

）+5=

4k2+12k-15

k2

=0
∴k=-

3

2

±

6

符合①，…（12分）
所以存在符合题意的直线l，其方程为y=（-

3

2

±

6

）x+1．…（13分）

点评：本题考查轨迹方程，考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．