题目内容
【题目】已知等腰梯形中(如图1),
,
,
为线段
的中点,
、
为线段
上的点,
,现将四边形
沿
折起(如图2)
(1)求证:平面
;
(2)在图2中,若,求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
(1)先连接,根据线面平行的判定定理,即可证明结论成立;
(2)在图2中,过点作
,垂足为
,连接
,
,证明平面
平面
,得到点
在底面
上的投影必落在直线
上,记
为点
在底面
上的投影,连接
,
,得出
即是直线
与平面
所成角,再由题中数据求解,即可得出结果.
(1)连接,因为等腰梯形
中(如图1),
,
,
所以与
平行且相等,即四边形
为平行四边形;所以
;
又为线段
的中点,
为
中点,易得:四边形
也为平行四边形,所以
;
将四边形沿
折起后,平行关系没有变化,仍有:
,且
,
所以翻折后四边形也为平行四边形;故
;
因为平面
,
平面
,
所以平面
;
(2)在图2中,过点作
,垂足为
,连接
,
,
因为,
,翻折前梯形
的高为
,
所以,则
,
;
所以;
又,
,
所以,即
,所以
;
又,且
平面
,
平面
,
所以平面
;因此,平面
平面
;
所以点在底面
上的投影必落在直线
上;
记为点
在底面
上的投影,连接
,
,
则平面
;
所以即是直线
与平面
所成角,
因为,所以
,
因此,
,
故;
因为,
所以,
因此,故
,
所以.
即直线与平面
所成角的正弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目