题目内容

双曲线与椭圆的焦点相同,若过右焦点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有两个不同交点,则此双曲线实半轴长的取值范围是( )
A.(2,4)
B.(2,4]
C.[2,4)
D.(2,+∞)
【答案】分析:要使直线与双曲线有两个交点,需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率,即 <1,求得a和b的不等式关系,进而根据b=转化成a和c的不等式关系,求得离心率的一个范围,最后根据双曲线的离心率大于1,综合可得求得e的范围.
解答:解:椭圆的半焦距c=4.
要使直线与双曲线有两个交点,需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率,
<tan60°=
即b<a
a,
整理得c<2a
∴a>2,
又a<c=4
则此双曲线实半轴长的取值范围是(2,4)
故选A.
点评:本题主要考查了双曲线的简单性质、圆锥曲线的共同特征.在求双曲线实半轴长的取值范围时,注意其值要小于4.
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