Question

双曲线与椭圆的焦点相同，若过右焦点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有两个不同交点，则此双曲线实半轴长的取值范围是（ ）
A．（2，4）
B．（2，4]
C．[2，4）
D．（2，+∞）

Answer 1

【答案】分析：要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即 ＜1，求得a和b的不等式关系，进而根据b=转化成a和c的不等式关系，求得离心率的一个范围，最后根据双曲线的离心率大于1，综合可得求得e的范围．
解答：解：椭圆的半焦距c=4．
要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，
即 ＜tan60°=，
即b＜a
∴＜a，
整理得c＜2a
∴a＞2，
又a＜c=4
则此双曲线实半轴长的取值范围是（2，4）
故选A．
点评：本题主要考查了双曲线的简单性质、圆锥曲线的共同特征．在求双曲线实半轴长的取值范围时，注意其值要小于4．