已知椭圆C的中心在原点.焦点在轴上.以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设点P是椭圆C的左准线与轴的交点.过点P的直线与椭圆C相交于M,N两点.当线段MN的中点落在正方形Q内时.求直线的斜率的取值范围. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）.
（Ⅰ）求椭圆C的方程;
（Ⅱ）设点P是椭圆C的左准线与轴的交点，过点P的直线与椭圆C相交于M,N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线的斜率的取值范围。

（Ⅰ）依题意，设椭圆C的方程为焦距为，由题设条件知，所以故椭圆C的方程为
（Ⅱ）椭圆C的左准线方程为所以点P的坐标，显然直线的斜率存在，所以直线的方程为。如图，设点M，N的坐标分别为线段MN的中点为G，

由得.          ……①
由解得.   ……②
因为是方程①的两根，所以，于是
=，     .
因为，所以点G不可能在轴的右边，
又直线,方程分别为
所以点在正方形内（包括边界）的充要条件为
即亦即
解得，此时②也成立.
故直线斜率的取值范围是

解析

练习册系列答案

相关题目

（I）已知抛物线过焦点的动直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点, 求证: 为定值;
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知: 过抛物线的焦点的动直线 l 交抛物线于两点, 存在定点, 使得为定值. 请写出关于椭圆的类似结论,并给出证明.

（本小题12分）椭圆的左、右焦点分别为、，直线经过点与椭圆交于两点。
（1）求的周长；
（2）若的倾斜角为，求的面积。

设双曲线C：－y²＝1的左、右顶点分别为A₁、A₂，垂直于x轴的直线m与双曲线C交于不同的两点P、Q．
（1）若直线m与x轴正半轴的交点为T，且·＝1，求点T的坐标；
（2）求直线A₁P与直线A₂Q的交点M的轨迹E的方程；
（3）过点F（1，0）作直线l与（2）中的轨迹E交于不同的两点A、B，设＝λ·，若λ∈[－2，－1]，求|＋|（T为（1）中的点）的取值范围．

已知点，直线，为平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为点，且.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点的直线交轨迹于，两点，交直线于点，已知，求的值.

已知抛物线C的方程C：y² ="2" p x（p＞0）过点A（1，－2）.
（I）求抛物线C的方程，并求其准线方程；
（II）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线
OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由

已知椭圆的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上，若右焦点到直线的距离为3。
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于不同的两点M，N，当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．

（本小题满分13分）已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，离心率为，且
椭圆经过圆的圆心C。
（I）求椭圆的标准方程；
（II）设直线与椭圆交于A、B两点，点且|PA|=|PB|，求直线的方程。

已知一隧道的截面是一个半椭圆面（如图所示），要保证车辆正常通行，车顶离隧道顶部至少要有米的距离，现有一货车，车宽米，车高米．
（１）若此隧道为单向通行，经测量隧道的跨度是米，则应如何设计隧道才能保证此货车正常通行？
（２）圆可以看作是长轴短轴相等的特殊椭圆，类比圆面积公式，
请你推测椭圆的面积公式．并问，当隧道为双向通行（车道间的距离忽略不记）时，要使此货车安全通过，应如何设计隧道，才会使同等隧道长度下开凿的土方量最小？

试题分类