Question

在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB=90°，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC．AB=2EF．
（Ⅰ）若M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE；
（Ⅱ）若AC=BC=2AE，求二面角A-BF-C的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据所给的一系列平行，得到三角形相似，根据平行四边形的判定和性质，得到线与线平行，根据线与面平行的判定定理，得到线面平行．
（Ⅱ）根据二面角的求解的过程，先做出，再证明，最后求出来，这样三个环节，先证∠HRC为二面角的平面角，再设出线段的长度，在直角三角形中求出角的正切值，得到二面角的大小．

解答：证明：（Ⅰ）∵EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，∠ACB=90°，
∴∠EGF=90°，△ABC～△EFG，
由于AB=2EF，
∴BC=2FG，
连接AF，
∵FG∥BC，FG=

1

2

BC，
在?ABCD中，M是线段AD的中点，
∴AM∥BC，且AM=

1

2

BC，
∴FG∥AM且FG=AM，
∴四边形AFGM为平行四边形，
∴GM∥FA，
∵FA?平面ABFE，GM?平面ABFE，
∴GM∥平面ABFE．
（Ⅱ）由题意知，平面ABFE⊥平面ABCD，
取AB的中点H，连接CH，
∵AC=BC，
∴CH⊥AB
则CH⊥平面ABFE，
过H向BF引垂线交BF于R，连接CR，
由线面垂直的性质可得CR⊥BF，
∴∠HRC为二面角的平面角，
由题意，不妨设AC=BC=2AE=2，
在直角梯形ABFE中，连接FH，
则FH⊥AB，
又AB=2

2

，
∴HF=AE=1，HR=

S△BHE

1 2 ×BE

=

2

3

=

6

3

，由于CH=

1

2

AB=

2

，
∴在直角三角形CHR中，tan∠HRC=

2

6 3

=

3

，
因此二面角A-BF-C的大小为60°

点评：本题考查线面平行的判定定理，考查二面角的求法，考查求解二面角时的三个环节，本题是一个综合题目，题目的运算量不大．