题目内容
若定义在[-2013，2013]上的函数f（x）满足：对于任意的x1，x2∈[-2013，2013]，有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-2012，且x＞0时，有f（x）＞2012，f（x）的最大、小值分别为M、N，则M+N的值为（ ）
分析：令x1=x2=0，可求得f（0）=2012；再利用单调性的定义证明函数f（x）在R上为单调递增函数，f（x1）+f（-x1）=4024，从而可求M+N．
解答：解：令x1=x2=0，则f（0+0）=f（0）+f（0）-2012，
∴f（0）=2012，
令-2013≤x1＜x2≤2013，且x2-x1=t＞0，
则f（x1）-f（x2）=f（x1）-f（x1+t）=f（x1）-f（x1）-f（t）+2012=2012-f（t）
∵t＞0，
∴f（t）＞2012，
∴2012-f（t）＜0，
∴f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）在R上为单调递增函数．
令x2=-x1∈[-2013，2013]，
则由f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-2012得：f（0）=f（x1）+f（-x1）-2012=2012，
∴f（x1）+f（-x1）=4024．
∵函数f（x）在R上为单调递增函数，
∴M+N=f（-2013）+f（2013）=4024．
故选：D．
∴f（0）=2012，
令-2013≤x1＜x2≤2013，且x2-x1=t＞0，
则f（x1）-f（x2）=f（x1）-f（x1+t）=f（x1）-f（x1）-f（t）+2012=2012-f（t）
∵t＞0，
∴f（t）＞2012，
∴2012-f（t）＜0，
∴f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）在R上为单调递增函数．
令x2=-x1∈[-2013，2013]，
则由f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-2012得：f（0）=f（x1）+f（-x1）-2012=2012，
∴f（x1）+f（-x1）=4024．
∵函数f（x）在R上为单调递增函数，
∴M+N=f（-2013）+f（2013）=4024．
故选：D．
点评：本题考查抽象函数及其应用，先利用单调性的定义证明函数f（x）在R上为单调递增函数是关键，也是难点，考查分析、推理与运算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
（2013•辽宁二模）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x2+2x．现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示，并根据