Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点距离之和为2

3

，离心率为

3

3

，左、右焦点分别为F₁，F₂，点P是右准线上任意一点，过F₂作直线PF₂的垂线F₂Q交椭圆于Q点．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；
（3）证明：直线PQ与椭圆E只有一个公共点．

Answer 1

分析：（1）由题意可得

2a=2 3 e= c a = 3 3 a2=b2+c2

，解出即可；
（2）由（1）可知：椭圆的右准线方程为x=

a2

c

=3，设P（3，y₀），Q（x₁，y₁），由PF₂⊥F₂Q，可得kQF2•kPF2=-1，利用斜率计算公式可得k_PQ•k_OQ及

y

2 1

=2(1-

x 2 1

3

)代入化简得直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值．
（3）由（2）知，直线PQ的方程为y-y1=-

2x1

3y1

(x-x1)，即y=-

2x1

3y1

x+

2

y1

，与椭圆的方程联立，消去一个未知数得到关于x的一元二次方程，只要证明△=0即可．

解答：解：：（1）由题意可得

2a=2 3 e= c a = 3 3 a2=b2+c2

，解得a=

3

，c=1，b=

2

所以椭圆E：

x2

3

+

y2

2

=1．
（2）由（1）可知：椭圆的右准线方程为x=

a2

c

=3，
设P（3，y₀），Q（x₁，y₁），
因为PF₂⊥F₂Q，所以kQF2kPF2=

y0

2

•

y1

x1-1

=

y0y1

2(x1-1)

=-1，
所以-y₁y₀=2（x₁-1）
又因为kPQ•kOQ=

y1

x1

•

y1-y0

x1-3

=

y 2 1 -y1y0

x 2 1 -3x1

且

y

2 1

=2(1-

x 2 1

3

)代入化简得kPQ•kOQ=-

2

3

．
即直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值-

2

3

．
（3）由（2）知，kPQ•kOQ=-

2

3

，kOQ=

y1

x1

，
∴kPQ=-

2x1

3y1

．
∴直线PQ的方程为y-y1=-

2x1

3y1

(x-x1)，即y=-

2x1

3y1

x+

2

y1

，
联立

x2 3 + y2 2 =1 y=- 2x1 3y1 x+ 2 y1

得(3

y

2 1

+2

x

2 1

)x2-12x1x+18-9

y

2 1

=0，
∵3

y

2 1

+2

x

2 1

=6，18-9

y

2 1

=6

x

2 1

．
∴化简得：x2-2x1x+

x

2 1

=0，又△=0，
解得x=x₁，所以直线PQ与椭圆C相切，只有一个交点．

点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、斜率计算公式等基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力．