Question

4．下列函数：①f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}-1}$；②f（x）=x³-x；③f（x）=ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）；④f（x）=ln$\frac{1-x}{1+x}$．
其中奇函数的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的定义进行判断．

解答 解：①由$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}≥0}\\{{x}^{2}-1≥0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}≤1}\\{{x}^{2}≥1}\end{array}\right.$，即x²=1，解得x=1或x=-1，即定义域为{-1，1}，
此时f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}-1}$=0，则函数既是奇函数也是偶函数；
②f（-x）=-x³+x=-（x³-x）=-f（x）；即函数是奇函数；
③f（x）+f（-x）=ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）+ln（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=ln（x²+1-x²）=ln1=0，
即f（-x）=-f（x），则函数为奇函数；
④由$\frac{1-x}{1+x}$＞0得-1＜x＜1．则f（x）+f（-x）=ln$\frac{1-x}{1+x}$+ln$\frac{1+x}{1-x}$=ln（$\frac{1-x}{1+x}$）（$\frac{1+x}{1-x}$）=ln1=0．
即f（-x）=-f（x），则函数为奇函数；
故四个函数都是奇函数，
故选：D．

点评 本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．注意要先判断定义域是否关于原点对称．