题目内容
【题目】已知函数(
为实常数).
(Ⅰ)若为
的极值点,求实数
的取值范围.
(Ⅱ)讨论函数在
上的单调性.
(Ⅲ)若存在,使得
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)见解析(Ⅲ)
.
【解析】试题分析:(1) ,由题,
为
的极值点,
可得,即
.
(2) ,
,分
,
,
三种情况讨论函数的单调性即可.
(3)结合(2)的单调性,分别求和
以及
时a的范围,综合取并集可得.
试题解析:(Ⅰ) ,
∵为
的极值点,
∴,
.
(Ⅱ)∵,
,
当,即
时,
,
,
此时, 在
上单调增,
当即
时,
时,
,
时,
,
故在
上单调递减,在
上单调递增,
当即
时,
,
,
此时, 在
上单调递减.
(Ⅲ)当时,∵
在
上单调递增,
∴的最小值为
,
∴,
当时,
在
上单调递减,在
上单调递增,
∴的最小值为
,
∵,
∴,
,
∴,
∴.
当时,
在
上单调递减,
∴的最小值为
,
∵,
,
∴,
综上可得: .
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