题目内容

设函数y=1-
2x+1-n
x2+x+1
(n∈N*)的最小值为an,最大值为bn,又Cn=3(an+bn)-9
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求
lim
n→∞
C1+C2+…+Cn
Cn
(n∈N*)的值
(3)设Sn=
1
C1
+
1
C2
+…+
1
Cn
dn=S2n+1-Sn
,是否存在最小的整数m,使对任意的n∈N*都有dn
m
25
成立?若存在,求出m的值;若不存在请说明理由.
分析:(1)函数可变形为(y-1)x2+(y+1)x+y-n=0①,当y=1 时不符合题意;当y≠1 时,方程①为二次方程,利用△=(y+1)2-4(y-1)(y-n)≥0,可求函数的值域,根据函数y=1-
2x+1-n
x2+x+1
(n∈N*)的最小值为an,最大值为bn,从而可求数列{an}的通项公式;
(2)由题意知an,bn 是方程3y2-(4n+6)y-1+4n=0 的两根,则an+bn=
4n+6
3
,从而Cn=4n-3 (n∈N*),求出Tn=C1+C2+…+Cn n(2n-1),即可求极限;
(3)根据Sn=
1
C1
+
1
C2
+…+
1
Cn
dn=S2n+1-Sn=
1
Cn+1
+
1
Cn+2
+…+
1
C2n+1

可得dn+1-dn=
1
8n+5
+
1
8n+9
-
1
4n+1
=(
1
8n+5
-
1
8n+2
)+(
1
8n+9
-
1
8n+2
)<0
,从而数列{dn} 为递减数列,从而数列 {dn} 的最大项为d1=
14
45
dn
m
25
恒成立,只需
14
45
< 
m
25
,故可求最小的整数.
解答:解:(1)函数可变形为(y-1)x2+(y+1)x+y-n=0①
当y=1 时不符合题意;当y≠1 时,方程①为二次方程,
∵x∈R
∴△=(y+1)2-4(y-1)(y-n)≥0 得-3y2+(4n+6)y+1-4n≥0 且y≠1
2n+3-2
n2+3
3
≤y≤
2n+3+2
n2+3
3

∵函数y=1-
2x+1-n
x2+x+1
(n∈N*)的最小值为an,最大值为bn
2n+3-2
n2+3
3

(2)由题意知an,bn 是方程3y2-(4n+6)y-1+4n=0 的两根,
an+bn=
4n+6
3
于是Cn=4n-3 (n∈N*) …4分
设Tn=C1+C2+…+Cn
由Cn=4n-3 (n∈N*),可知Tn=n(2n-1)
lim
n→∞
Tn
Cn
=
lim
n→∞
2n2-n
16n2-24n+9
=
2
4
  …8分
(3)∵Sn=
1
C1
+
1
C2
+…+
1
Cn
dn=S2n+1-Sn=
1
Cn+1
+
1
Cn+2
+…+
1
C2n+1

dn+1-dn=
1
8n+5
+
1
8n+9
-
1
4n+1
=(
1
8n+5
-
1
8n+2
)+(
1
8n+9
-
1
8n+2
)<0

∴数列{dn} 为递减数列,从而数列 {dn} 的最大项为d1=
14
45

dn
m
25
恒成立,只需
14
45
< 
m
25

m>
70
9
,故最小的整数m=8.…13分
点评:本题以函数为载体,考查数列的通项,考查数列的极限,考查数列的单调性及恒成立问题,有综合性.
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