题目内容
设函数y=1-
(n∈N*)的最小值为an,最大值为bn,又Cn=3(an+bn)-9
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求
(n∈N*)的值
(3)设Sn=
+
+…+
,dn=S2n+1-Sn,是否存在最小的整数m,使对任意的n∈N*都有dn<
成立?若存在,求出m的值;若不存在请说明理由.
2x+1-n |
x2+x+1 |
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求
lim |
n→∞ |
| ||
Cn |
(3)设Sn=
1 |
C1 |
1 |
C2 |
1 |
Cn |
m |
25 |
分析:(1)函数可变形为(y-1)x2+(y+1)x+y-n=0①,当y=1 时不符合题意;当y≠1 时,方程①为二次方程,利用△=(y+1)2-4(y-1)(y-n)≥0,可求函数的值域,根据函数y=1-
(n∈N*)的最小值为an,最大值为bn,从而可求数列{an}的通项公式;
(2)由题意知an,bn 是方程3y2-(4n+6)y-1+4n=0 的两根,则an+bn=
,从而Cn=4n-3 (n∈N*),求出Tn=C1+C2+…+Cn n(2n-1),即可求极限;
(3)根据Sn=
+
+…+
,dn=S2n+1-Sn=
+
+…+
可得dn+1-dn=
+
-
=(
-
)+(
-
)<0,从而数列{dn} 为递减数列,从而数列 {dn} 的最大项为d1=
,dn<
恒成立,只需
<
,故可求最小的整数.
2x+1-n |
x2+x+1 |
(2)由题意知an,bn 是方程3y2-(4n+6)y-1+4n=0 的两根,则an+bn=
4n+6 |
3 |
(3)根据Sn=
1 |
C1 |
1 |
C2 |
1 |
Cn |
1 |
Cn+1 |
1 |
Cn+2 |
1 |
C2n+1 |
可得dn+1-dn=
1 |
8n+5 |
1 |
8n+9 |
1 |
4n+1 |
1 |
8n+5 |
1 |
8n+2 |
1 |
8n+9 |
1 |
8n+2 |
14 |
45 |
m |
25 |
14 |
45 |
m |
25 |
解答:解:(1)函数可变形为(y-1)x2+(y+1)x+y-n=0①
当y=1 时不符合题意;当y≠1 时,方程①为二次方程,
∵x∈R
∴△=(y+1)2-4(y-1)(y-n)≥0 得-3y2+(4n+6)y+1-4n≥0 且y≠1
∴
≤y≤
∵函数y=1-
(n∈N*)的最小值为an,最大值为bn
∴
(2)由题意知an,bn 是方程3y2-(4n+6)y-1+4n=0 的两根,
则an+bn=
于是Cn=4n-3 (n∈N*) …4分
设Tn=C1+C2+…+Cn
由Cn=4n-3 (n∈N*),可知Tn=n(2n-1)
∴
=
=
…8分
(3)∵Sn=
+
+…+
,dn=S2n+1-Sn=
+
+…+
∴dn+1-dn=
+
-
=(
-
)+(
-
)<0
∴数列{dn} 为递减数列,从而数列 {dn} 的最大项为d1=
,
即dn<
恒成立,只需
<
,
∴m>
,故最小的整数m=8.…13分
当y=1 时不符合题意;当y≠1 时,方程①为二次方程,
∵x∈R
∴△=(y+1)2-4(y-1)(y-n)≥0 得-3y2+(4n+6)y+1-4n≥0 且y≠1
∴
2n+3-2
| ||
3 |
2n+3+2
| ||
3 |
∵函数y=1-
2x+1-n |
x2+x+1 |
∴
2n+3-2
| ||
3 |
(2)由题意知an,bn 是方程3y2-(4n+6)y-1+4n=0 的两根,
则an+bn=
4n+6 |
3 |
设Tn=C1+C2+…+Cn
由Cn=4n-3 (n∈N*),可知Tn=n(2n-1)
∴
lim |
n→∞ |
| ||
Cn |
lim |
n→∞ |
|
| ||
4 |
(3)∵Sn=
1 |
C1 |
1 |
C2 |
1 |
Cn |
1 |
Cn+1 |
1 |
Cn+2 |
1 |
C2n+1 |
∴dn+1-dn=
1 |
8n+5 |
1 |
8n+9 |
1 |
4n+1 |
1 |
8n+5 |
1 |
8n+2 |
1 |
8n+9 |
1 |
8n+2 |
∴数列{dn} 为递减数列,从而数列 {dn} 的最大项为d1=
14 |
45 |
即dn<
m |
25 |
14 |
45 |
m |
25 |
∴m>
70 |
9 |
点评:本题以函数为载体,考查数列的通项,考查数列的极限,考查数列的单调性及恒成立问题,有综合性.

练习册系列答案
相关题目