Question

6．求下列函数的值域．
（1）y=$\frac{（x-2）\sqrt{1-{x}^{2}}}{\sqrt{{x}^{2}-4x+4}}$
（2）f（x）=$\frac{{2}^{x}-{2}^{-x}}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$
（3）f（x）=$\sqrt{1-x}$+$\sqrt{x+3}$
（4）f（x）=$\sqrt{1-x}$-$\sqrt{x+3}$．

Answer 1

分析 （1）根据函数的定义域为[-1，1]，可将原函数化简为y=$-\sqrt{1-{x}^{2}}$，而根据0≤1-x²≤1即可求出$\sqrt{1-{x}^{2}}$的范围，从而得出该函数的值域；
（2）将原函数变成$f（x）=1-\frac{2}{{2}^{2x}+1}$，由2^2x+1＞1即可得出$\frac{1}{{2}^{2x}+1}$的范围，从而得出该函数的值域；
（3）对原函数的两边平方，便可得到${f}^{2}（x）=4+2\sqrt{-（x+1）^{2}+4}$，而由0≤-（x+1）²+4≤4即可得出$\sqrt{-（x+1）^{2}+4}$的范围，从而求出该函数的值域；
（4）求导数，并判断导数f′（x）＜0，从而得出原函数在[-3，1]上单调递减，从而有f（1）≤f（x）≤f（-3），这样便可得出原函数的值域．

解答 解：（1）函数定义域为[-1，1]；
∴$y=\frac{（x-2）\sqrt{1-{x}^{2}}}{\sqrt{（x-2）^{2}}}=\frac{（x-2）\sqrt{1-{x}^{2}}}{2-x}$=$-\sqrt{1-{x}^{2}}$；
∵0≤1-x²≤1；
∴$0≤\sqrt{1-{x}^{2}}≤1$；
∴-1≤y≤0；
∴原函数的值域为[-1，0]；
（2）$f（x）=\frac{{2}^{x}-{2}^{-x}}{{2}^{x}+{2}^{-x}}=\frac{{2}^{2x}-1}{{2}^{2x}+1}=\frac{{2}^{2x}+1-2}{{2}^{2x}+1}$=$1-\frac{2}{{2}^{2x}+1}$；
∵2^2x＞0；
∴2^2x+1＞1，$0＜\frac{1}{{2}^{2x}+1}＜1$；
∴-1＜f（x）＜1；
∴原函数的值域为：（-1，1）；
（3）${f}^{2}（x）=4+2\sqrt{（1-x）（x+3）}$=$4+2\sqrt{-（x+1）^{2}+4}$；
∵0≤-（x+1）²+4≤4；
∴$0≤\sqrt{-（x+1）^{2}+4}≤2$；
∴4≤f²（x）≤8，f（x）＞0；
∴2$≤f（x）≤2\sqrt{2}$；
∴原函数的值域为：$[2，2\sqrt{2}]$；
（4）f′（x）=$-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}-\frac{1}{2\sqrt{x+3}}＜0$；
∴f（x）在[-3，1]上单调递减；
∴f（1）≤f（x）≤f（-3）；
∴-2≤f（x）≤2；
∴原函数的值域为：[-2，2]．

点评 考查函数值域的概念，指数的运算，分离常数求函数值域的方法，根据导数符号判断函数单调性，以及根据函数的单调性求值域，解析式中带根号的可考虑对函数解析式两边平方的方法，注意函数的定义域．