题目内容

椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1与双曲线
x2
b2
-
y2
c2
=1有相同的焦点F1，F2，P为两曲线的一个交点，且PF1⊥PF2，则两曲线的离心率之积是
2
3
3
2
3
3
．
分析：由题设中的条件，设焦距为2m，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2b，根据椭圆和双曲线的性质以及勾弦定理建立方程，联立可得m，a，b的等式，从而可得到结论．
解答：解：由题意设焦距为2m，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2b，不妨令P在双曲线的右支上
由双曲线的定义|PF1|-|PF2|=2b  ①
由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a  ②
又PF1⊥PF2，故|PF1|2+|PF2|2=4m2   ③
①2+②2得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2b2④
∴a2+b2=2m2，
∵a2-b2=m2，
∴a2=
3
2
m2，b2=
1
2
m2
∴椭圆的离心率为
m
a
=
6
3
，双曲线的离心率为
m
b
=
2

∴两曲线的离心率之积是
m
a
×
m
b
=
m2
ab
=
2
3
3

故答案为：
2
3
3
点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义焦点三角形中用勾弦定理建立三个方程联立求椭圆离心率e1与双曲线心率e2满足的关系式，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，凑出两曲线离心率所满足的方程来．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=
2
2
，右准线方程为x=2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直线l的方程．
精英家教网如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，求证：|AT|2=
1
2
|AF1||AF2|．
精英家教网如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF1的中点，求证：∠ATM=∠AF1T．
设 A（x1，y1）、B（x2，y2）是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的两点，O为坐标原点，向量
m
=(
x1
a
，
y1
b
)，
n
=(
x2
a
，
y2
b
)且
m
•
n
=0．
（1）若A点坐标为（a，0），求点B的坐标；
（2）设
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
，证明点M在椭圆上；
（3）若点P、Q为椭圆 上的两点，且
PQ
∥
OB
，试问：线段PQ能否被直线OA平分？若能平分，请加以证明；若不能平分，请说明理由．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=
2
2
，右准线方程为x=2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直线l的方程．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网