Question

【题目】已知f（x）=|ax﹣4|﹣|ax+8|，a∈R
（Ⅰ）当a=2时，解不等式f（x）＜2；
（Ⅱ）若f（x）≤k恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当a=2时，

f（x）=2（|x﹣2|﹣|x+4|）=

当x＜﹣4时，不等式不成立；

当﹣4≤x≤2时，由﹣4x﹣4＜2，得﹣ ＜x≤2；

当x＞2时，不等式必成立．

综上，不等式f（x）＜2的解集为{x|x＞﹣ }．

（Ⅱ）因为f（x）=|ax﹣4|﹣|ax+8|≤|（ax﹣4）﹣（ax+8）|=12，

当且仅当ax≤﹣8时取等号．

所以f（x）的最大值为12．

故k的取值范围是[12，+∞）

【解析】（I）当a=2时，f（x）=2（|x﹣2|﹣|x+4|），再对x的值进行分类讨论转化成一次不等式，由此求得不等式的解集．（II）f（x）≤k恒成立，等价于k≥f（x）max，由此求得实数k的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解绝对值不等式的解法的相关知识，掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．