题目内容
【题目】已知f(x)=|ax﹣4|﹣|ax+8|,a∈R
(Ⅰ)当a=2时,解不等式f(x)<2;
(Ⅱ)若f(x)≤k恒成立,求k的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)当a=2时,
f(x)=2(|x﹣2|﹣|x+4|)=
当x<﹣4时,不等式不成立;
当﹣4≤x≤2时,由﹣4x﹣4<2,得﹣ <x≤2;
当x>2时,不等式必成立.
综上,不等式f(x)<2的解集为{x|x>﹣ }.
(Ⅱ)因为f(x)=|ax﹣4|﹣|ax+8|≤|(ax﹣4)﹣(ax+8)|=12,
当且仅当ax≤﹣8时取等号.
所以f(x)的最大值为12.
故k的取值范围是[12,+∞)
【解析】(I)当a=2时,f(x)=2(|x﹣2|﹣|x+4|),再对x的值进行分类讨论转化成一次不等式,由此求得不等式的解集.(II)f(x)≤k恒成立,等价于k≥f(x)max,由此求得实数k的取值范围.
【考点精析】解答此题的关键在于理解绝对值不等式的解法的相关知识,掌握含绝对值不等式的解法:定义法、平方法、同解变形法,其同解定理有;规律:关键是去掉绝对值的符号.
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