题目内容

在数列{an}中，a1＝－3，an＝2an－1＋2n＋3(n≥2，且nN*)．

(Ⅰ)求a2，a3的值；

(Ⅱ)设bn＝(nN*)，证明：{bn}是等差数列；

(Ⅲ)求数列{an}的前n项和Sn．

答案：
解析：

　　(Ⅰ)解：

　　∵a1＝－3，an＝2an－1＋2n＋3(n≥2，且n∈N*)，

　　∴a2＝2a1＋22＋3＝1　　2分

　　a3＝2a2＋23＋3＝13．　　4分

　　(Ⅱ)证明：

　　证法一：对于任意nN*，

　　∵bn+1－bn＝[(an+1－2an)－3]＝[(2n+1＋3)－3]＝1，

　　∴数列{bn}是首项为＝＝0，公差为1的等差数列．　　9分

　　证法二：对于任意nN*，

　　∵2bn+1－(bn＋bn+2)＝2×＝(4an+1－4an－an+2－3)

　　＝[2(an+1－2an)－(an+2－2an+1)－3]＝[2(2n+1＋3)－(2n+2＋3)－3]＝0，

　　∴2bn+1＝bn＋bn+2，

　　∴数例{bn}是首项为＝0，公差为b2－b1＝1的等差数列．　　9分

　　(Ⅲ)解：

　　由(Ⅱ)得，＝0＋(n－1)×1，

　　∴an＝(n－1)·2n－3(nN*)．　　10分

　　∴Sn＝－3＋(1×22－3)＋(2×23－3)＋…＋[(n－1)·2n－3]，

　　即Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)·2n－3n．

　　设Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)·2n，

　　则2Tn＝1×23＋2×24＋3×25＋…＋(n－1)·2n+1，

　　两式相减得，－Tn＝22＋23＋24＋…＋2n－(n－1)·2n+1＝－(n－1)·2n+1，

　　整理得，Tn＝4＋(n－2)·2n+1，

　　从而Sn＝4＋(n－2)·2n+1－3n(nN*)．　　14分


练习册系列答案
相关题目
在数列{an}中，
a
 
1
=1，an=
1
2
an-1+1（n≥2），则数列{an}的通项公式为an=
2-21-n
2-21-n
．
在数列{an}中，a 1=
1
3
，并且对任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=
1
an
（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{
an
n
}的前n项和为Tn，证明：
1
3
≤Tn＜
3
4
．
在数列{an}中，a=
12
，前n项和Sn=n2an，求an+1．
在数列{an}中,a1=a,前n项和Sn构成公比为q的等比数列,________________.

(先在横线上填上一个结论,然后再解答)

在数列{an}中，a，并且对任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}的前n项和为Tn，证明：．

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